liczby zespolone w postaci trygonometrycznej SPRAWDZENIE

[perfectsnobody]

Witam, czy mógłby mi ktoś powiedzieć czy dobrze robię? a jak źle to gdzie jest błąd?

a) \(\displaystyle{ \left(- \sqrt{3} + i\right) ^{32}}\)

\(\displaystyle{ czyli r= 2, \cos \phi = \frac{- \sqrt{3} }{2}
\sin \phi= \frac{1}{2}}\)

a więc \(\displaystyle{ \phi = \pi - \frac{ \pi }{6} = \frac{5}{6} \pi}\)

\(\displaystyle{ \left(- \sqrt{3} + i\right) ^{32}= 2^{32} \left( \cos \frac{32*5 \pi }{6}+ i \sin \frac{32*5 \pi }{6} \right) = 2^{32} \left( \cos \frac{80 \pi }{3}+ i \sin \frac{80 \pi }{3} \right) = 2^{32} \left( \cos \frac{2\pi }{3}+ i \sin \frac{2\pi }{3} \right) = 2^{32} \left( \cos \frac{- \pi }{3}+ i \sin \frac{ \pi }{3} \right) = 2^{32} \left( - \frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) = 2^{31} \left( -1+ \sqrt{3}i \right)}\)

b) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{1+ \sqrt{3}i }}\)
\(\displaystyle{ r=2 \cos \phi = \frac{1}{2}
\sin \phi= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

zatem \(\displaystyle{ \phi= \frac{ \pi }{3}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1+ \sqrt{3}i }= \sqrt[3]{2} \left( \cos \frac{ \frac{\pi}{3} +2k \pi }{3} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{3} +2k \pi }{3} \right)}\)

\(\displaystyle{ Z_{0}= \sqrt[3]{2} \left( \cos \frac{ \frac{\pi}{3} +2*0 \pi }{3} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{3} +2*0 \pi }{3} \right) = \sqrt[3]{2} \left( \cos \frac{ \frac{ \pi }{3} }{3} + i \sin \frac{ \frac{ \pi }{3} }{3} \right) = \sqrt[3]{2} \left( \cos \frac{ \pi }{9} + i \sin \frac{\pi}{9} \right)}\)

\(\displaystyle{ Z_{1}= \sqrt[3]{2} \left( \cos \frac{ \frac{\pi}{3} +2 \pi }{3} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{3} +2\pi }{3} \right) = \sqrt[3]{2} \left( \cos \frac{ \frac{ 7\pi }{3} }{3} + i \sin \frac{ \frac{ 7\pi }{3} }{3} \right) = \sqrt[3]{2} \left( \cos \frac{ 7\pi }{9} + i \sin \frac{7\pi}{9} \right)}\)

\(\displaystyle{ Z_{2}= \sqrt[3]{2} \left( \cos \frac{ \frac{\pi}{3} +2*2 \pi }{3} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{3} +2*2 \pi }{3} \right) = \sqrt[3]{2} \left( \cos \frac{ \frac{ 13\pi }{3} }{3} + i \sin \frac{ \frac{13 \pi }{3} }{3} \right) = \sqrt[3]{2} \left( \cos \frac{13 \pi }{9} + i \sin \frac{13\pi}{9} \right) =\sqrt[3]{2} \left( \cos \frac{4 \pi }{9} + i \sin \frac{4\pi}{9} \right)}\)


wychodzą jakieś dziwne te wyniki dlatego chyba to jest źle.. ;/

PROSZĘ O POMOC I Z GÓRY DZIĘKUJE

[cosinus90]

Oba przykłady zrobione poprawnie. Dlaczego dziwne wyniki ?

[perfectsnobody]

oo dzięki wielkie za odpowiedź

bo z \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{9}}\) i innymi ułamkami już nie można nic zrobić,prawda ;x ?

[cosinus90]

Teoretycznie można, ale po co ? Rozumiem, że autor zadania tego nie wymaga.