Wielomian z egzaminu poprawkowego

[majczalek]

Miałem taki wielomian na egzaminie uczelnianym. Wiem, że nie rozwiązałem zadania dobrze do końca, ale jestem ciekaw czy sam pomysł był dobry. Proszę o pomoc w dokończeniu i ocenie zrobionej części:

Rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ 2z ^{2} - (3 \sqrt{2} + \sqrt{2} i)z + 2 + 2i = 0}\)

podstawiam:
\(\displaystyle{ z = x +yi}\)

i wychodzi mi:
\(\displaystyle{ 2(x+yi) ^{2} - (3 \sqrt{2} + \sqrt{2}i)(x+yi) + 2 + 2i = 0}\)

Po przemnożeniu i rozwinięciu zostaje:
\(\displaystyle{ 2x ^{2} - 2y ^{2} + 4xyi - 3 \sqrt{2} x - \sqrt{2}ix - 3 \sqrt{2}yi + \sqrt{2}y + 2 + 2i = 0}\)

Tworzę układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x ^{2} - 2y ^{2} - 3 \sqrt{2}x + \sqrt{2}y + 2 = 0 \\ 4xy - \sqrt{2}x - 3 \sqrt{2}y + 2 = 0 \end{cases}}\)

I czy do tego momentu jest to poprawnie zrobione?

Wyszło mi rozwiązanie \(\displaystyle{ z = \sqrt{2}}\) ale to był raczej strzał, bo niestety nie zdążyłem rozwiązać układu równań

[octahedron]

Nigdy tak nie próbowałem rozwiązywać takiego równania. Ono jest kwadratowe, czyli po prostu tak:

\(\displaystyle{ \Delta=(3\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^2-8(2+2i)=16+12i-16-16i=-4i\\\\
\sqrt{\Delta}=\pm(\sqrt{2}-\sqrt{2}i)\\\\
z_1=\frac{-(3\sqrt{2}+\sqrt{2}i)-(\sqrt{2}-\sqrt{2}i)}{4}=-\sqrt{2}\\\\
z_2=\frac{-(3\sqrt{2}+\sqrt{2}i)+(\sqrt{2}-\sqrt{2}i)}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\\\\}\)

[majczalek]

A ja się nad tym tak męczyłem...
Ale sam sposób mojego rozwiązania jest dobry?

[octahedron]

Właściwie jest dobry, tylko skomplikowany.