Pierwiastki wielomianu

[majczalek]

Proszę o pomoc z tym zadaniem:

Dany jest wielomian:
\(\displaystyle{ z ^{5} - z ^{3} - z ^{2} + 1}\)
a) Wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu
b) Podać krotności tych pierwiastków

Rozwiązując:

\(\displaystyle{ = z ^{3} (z ^{2}-1)-1 (z^{2}-1) = (z ^{3}-1)(z ^{2}-1) = (z-1)(z ^{2}+z+1)(z-1)(z+1) = (z-1)^{2}(z ^{2}+z+1)(z+1)}\)

I co należy dalej zrobić?
Pozdrawiam,
majczalek

[przemokraw]

Jeśli dany wielomian rozważasz w ciele liczb zespolonych, to \(\displaystyle{ z^2 + z + 1}\) ma jeszcze 2 pierwiastki, które można znaleźć w standardowy sposób - licząc deltę i korzystając z zależności \(\displaystyle{ i^2 = -1}\). W przeciwnym przypadku więcej pierwiastków nie znajdziesz, bo np. nad ciałem liczb rzeczywistych\(\displaystyle{ z^2 + z + 1}\) jest nierozkładalny.

[majczalek]

Hmm a czy mógłbyś pomóc mi wyznaczyć deltę?
Z wzoru \(\displaystyle{ b ^{2} - 4ac}\) wychodzi, że delta jest równa \(\displaystyle{ 1-4}\).

[przemokraw]

Tak, w liczbach zespolonych mamy: \(\displaystyle{ \Delta = 1 - 4 = -3}\).
Zatem rozwiązania to:

\(\displaystyle{ z_1 = \frac{-1 \pm \sqrt{-3} }{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{(-1) * 3} }{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3i^2 } }{2} = \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2}}\)

[majczalek]

I teraz wystarczy, że wypiszę w podpunkcie a) te pierwiastki i w podpunkcie b) podam, że 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem, a reszta jednokrotnym?

Czy mógłbyś mi pomóc z jeszcze jednym przykładem?

Rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ z^{6} - 5z ^{4} + 2z ^{2} + 8 = 0}\)

Dziękuję za tamten.

[przemokraw]

Tak, to wystarczy.

Wskazówka do drugiego równania: można zauważyć, że pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ i}\), bo \(\displaystyle{ i^6 - 5i^4 + 2i^2 + 8 = -1 -5 -2 + 8 = 0}\). Później wszystko się ładnie grupuje. Spróbuj to rozpisać.

[majczalek]

Szczerze powiedziawszy nie mam pojęcia jak to pogrupować tutaj

[Zordon]

jeśli \(\displaystyle{ i}\) jest pierwiastkiem, to łatwo się przekonać, że \(\displaystyle{ -i}\) również, zatem wielomian dzieli się przez \(\displaystyle{ z^2+1}\) - wykonaj to dzielenie i rozkładaj dalej

[majczalek]

Wyszło mi \(\displaystyle{ (z ^{4} - 6z ^{2} + 8)(z ^{2}+1)}\)
Wynik końcowy:
\(\displaystyle{ (z-i)(z+i)(z-2)(z+2)(z ^{2} +2)}\)

Czy dalej można rozłożyć ostatni czynnik? Z równania delty wychodzą mi pierwiastki \(\displaystyle{ \pm 4i}\).
I skąd wzięto ten pierwiastek \(\displaystyle{ i}\)? To był "strzał"?

Pozdrawiam, majczalek

[przemokraw]

Ostatni czynnik można rozłożyć, ale coś musiałeś źle policzyć, bo \(\displaystyle{ \pm 4i}\) to zły wynik.

To, że \(\displaystyle{ -i}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu wynika z twierdzenia, że jeśli jakaś liczba zespolona o niezerowej części urojonej jest pierwiastkiem wielomianu, to jest nim też liczba do niej sprzężona. Więc jeśli wiesz już, że pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ i}\), to od razu masz, że jest nim także \(\displaystyle{ -i}\).

[majczalek]

Ale chodziło mi skąd wiadomo, że samo \(\displaystyle{ i}\) jest pierwiastkiem wielomianu? To był czysty "strzał"?

[przemokraw]

Tak, chociaż nie do końca. Być może miałeś w szkole średniej mówione, że gdy nie widać pierwiastków wielomianu o wyrazach rzeczywistych od razu, ani nie potrafi się jakoś sprytnie pogrupować wyrazów, warto sprawdzić, czy nie są nimi dzielniki wyrazu wolnego wielomianu (w równaniu, które masz do policzenia w ten sposób znalazłbyś pierwiastki \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ 2}\). W Twoim przypadku mamy co prawda wielomian o wyrazach z ciała liczb zespolonych, ale sprawdzenie, czy \(\displaystyle{ i}\) lub \(\displaystyle{ -i}\) spełniają to równianie było po prostu dość naturalnym krokiem.