Liczby zespolone na płaszczyźnie

[majczalek]

Proszę o pomoc z poniższym przykładem:

\(\displaystyle{ 0 < arg( \vec{z} ) \le \frac{ 2\pi }{3}}\)

To podkreślenie nad \(\displaystyle{ z}\) oznacza, że \(\displaystyle{ z = x - yi}\) (nie znalazłem odpowiedniego znaku).

Wiem, że \(\displaystyle{ z = x - yi}\) wobec tego rysuję prostą w czwartej ćwiartce ze współrzędnymi \(\displaystyle{ x}\) dodatnimi i \(\displaystyle{ y}\) ujemnymi. Nie wiem teraz skąd zacząć wyznaczać ten kąt. Idąc od początku układu współrzędnych zamalowałbym całą pierwszą ćwiartkę i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) drugiej ćwiartki, ale to pewnie złe rozwiązanie.

Proszę o pomoc z tym zadanie.
Z góry dziękuję,
majczalek

[octahedron]

\(\displaystyle{ 0 < \arg( \overline{z} ) \le \frac{ 2\pi }{3}\\\\
0 < -\arg(z) \le \frac{ 2\pi }{3}\\\\
0 >\arg(z) \ge -\frac{ 2\pi }{3}\\\\}\)

[majczalek]

A czemu \(\displaystyle{ arg( \vec{z}) = - arg(z)}\) ? W tym drugim przecież obydwie współrzędne są ujemne, a pierwszym tylko ta przy części urojonej? I kąt \(\displaystyle{ - \frac{2 \pi }{3}}\) to jest po prostu kąt w przeciwną stronę od początku układu współrzędnych?

[octahedron]

Tam jest \(\displaystyle{ -\arg(z)}\),a nie \(\displaystyle{ -z}\) :

\(\displaystyle{ z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\\\\
r(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))=r(\cos\varphi-i\sin\varphi)=\overline{z}}\)

Co do kąta to tak, jest po prostu w przeciwną stronę.

[majczalek]

Wobec tego jakbym miał narysować \(\displaystyle{ arg(-z) = \frac{ \pi }{4}}\) to jak by należało to zrobić?

[bb314]

\(\displaystyle{ \blue\fbox{\ \arg(-z)=\arg(z)\pm\pi\ }}\)

\(\displaystyle{ \arg(-z)=\frac{\pi}{4}=\arg(z)\pm\pi\ \ \green \Rightarrow \black\ \ \arg(z)=-\frac{3\pi}{4}\ \ \vee\ \ \arg(z)=\frac{5\pi}{4}}\)


\(\displaystyle{ \blue\fbox{\ \arg(\overline{z})=-\arg(z)\ \ \vee\ \ 2\pi-\arg(z)\ }}\)

[majczalek]

Dziękuję, nie znałem tego wzoru