Równanie z sumą ciągu geometrycznego

[bertas]

Witajcie, to mój pierwszy post na tym forum. Mam problem z rozwiązaniem takiego zadania:

Niech n oznacza pewną liczbę naturalną. Znajdź wszystkie liczby zespolone z, takie że
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \left( iz\right) ^{k} = 0}\)

Doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ 1 + \left( iz\right) + \left( iz\right)^{2} + \left( iz\right)^{3} + \ldots = 0}\)
Więc jest to ciąg geometryczny o ilorazie \(\displaystyle{ q = iz}\)
Czyli \(\displaystyle{ S _{n}= \frac{1-\left( iz\right)^{n} }{1-iz}}\)
Wracając do równania mamy \(\displaystyle{ iz = \sqrt[n]{1}}\), \(\displaystyle{ z \neq -i}\)
Ze wzoru de Moivre'a \(\displaystyle{ iz = \cos \left( \frac{2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{2k\pi}{n} \right)}\) \(\displaystyle{ ,k\in\left\{ 0,\ldots,n-1\right\} }}\)
\(\displaystyle{ z = \sin \left( \frac{2k\pi}{n} \right) - i\cos \left( \frac{2k\pi}{n} \right)}\)

Teraz mam problem co dalej. Nie wiem co zrobić z k. Poza tym nie jestem pewien czy mój sposób jest dobry.

Edit: Poprawiłem warunek.

[sneik555]

Nie znam sie za bardzo na zespolonych, ale \(\displaystyle{ iz=i \cdot \left( a+bi\right)}\) dla \(\displaystyle{ a,b \in Z}\)
Dalej nawet ładnie wygląda, tylko popraw ten warunek, to spojrze. Chyba, że może jeszcze ktoś mądrzejszy ode mnie sie wypowie

[bertas]

sneik555: Poprawiłem warunek, teraz powinno być dobrze.
Czy mógłby ktoś podpowiedzieć jak rozwiązać to zadanie?

[bb314]

\(\displaystyle{ \blue iz = \cos \left( \frac{2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{2k\pi}{n} \right)\ \ \ \ k\in\left\{ 1,2,\ldots,n-1\right\}}\)

\(\displaystyle{ iz=e^{i\cdot \frac{2k\pi}{n} } \ \ \green \Rightarrow \black\ \ z=-i\cdot e^{i\cdot \frac{2k\pi}{n} }=e^{-i\cdot\frac{\pi}{2}}\cdot e^{i\cdot \frac{2k\pi}{n} } \ \ \green \Rightarrow}\)

\(\displaystyle{ \green \Rightarrow \magenta\ \ z_{k}=e^{i\cdot\frac{(4k-n)\pi}{2n}}\ \ \ \ \ k=\left\{ 1,2,\ldots,n-1\right\}}\)

lub, jak wolisz, w postaci trygonometrycznej
\(\displaystyle{ z_{k}=\cos\frac{(4k-n)\pi}{2n}+i\,\sin\frac{(4k-n)\pi}{2n}\ \ \ \ \ k=\left\{ 1,2,\ldots,n-1\right\}}\)


\(\displaystyle{ k=0}\) odpada, bo wtedy \(\displaystyle{ z=-i}\)

[bertas]

Dzięki za rozwiązanie!

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \left( iz\right) ^{k} = 0}\)
[...]
Więc jest to ciąg geometryczny o ilorazie \(\displaystyle{ q = iz}\)
Czyli \(\displaystyle{ S _{n}= \frac{1-\left( iz\right)^{n} }{1-iz}}\)

Drobna uwaga: powinno być

\(\displaystyle{ S_n = \frac{1- (iz)^{n+1}}{1-iz},}\)

wraz ze wszystkimi konsekwencjami w dalszym rozwiązaniu.