Pierwiastek równania \(\displaystyle{ z ^{2} - 2z +13 = 0}\) spełniający warunek \(\displaystyle{ \left|z - i\right| < \left|i(z -1)\right|}\) jest
pierwiastkiem 6-tego stopnia pewnej liczby zespolonej w. Wyznaczyć (w postaci
algebraicznej) dwa dowolne inne pierwiastki liczby w. W rozwiązaniu zadania powołać się na
odpowiednie własności liczb zespolonych.
Wyliczam oba pierwiastki równania kwadratowego, wychodzi \(\displaystyle{ 1 \pm i2 \sqrt{3}}\). Podstawiam pod nierówność i akurat \(\displaystyle{ 1 + i2 \sqrt{3}}\) ją spełnia.
Przechodzę do następnej części zadania. I tutaj zaczynają się schody. Obstawiam, że kolejnym pierwiastkiem będzie sprzężenie czyli \(\displaystyle{ 1 - i2 \sqrt{3}}\), ale nie jestem pewien. A co z trzecim?
Postać trygonometryczna odpada.
Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ (1 + i2 \sqrt{3})^6=w}\), to także \(\displaystyle{ \left( (1 + i2 \sqrt{3})\cdot \varepsilon_k\right) ^6=w}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon_k}\) będącego pierwiastkiem szóstego stopnia z jedynki.
Czyli rozumiem, że robię w postaci trygonometrycznej jedynki jakiś pierwiastek z niej np. \(\displaystyle{ z _{1} = \frac{1}{2} +i \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) (który z racji, że to pierwiastek z 1 ma wartość 1) i mnożę razy uzyskany wcześniej pierwiastek, uzyskując kolejne?
Więc np. \(\displaystyle{ \left( 1+i2 \sqrt{3} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} +i \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) =-2,5+i \frac{3 \sqrt{3} }{2}}\) będzie kolejnym pierwiastkiem?
Ostatnio zmieniony 10 lut 2013, o 12:25 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Symbol mnożenia to \cdot.
