pierwiastki wielomianu

[xxxo]

bardzo proszę o kroki do zadania:

wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W(z) = z^{4} + 2z^{3} + 2z + 2}\) wiedząc że jednym z jego pierwiastków jest liczba \(\displaystyle{ z_{1} = -i -1}\)

[bb314]

\(\displaystyle{ \blue W(z) = z^{4} + 2z^{3} + 2z + 2\ \ \ \ \ \ \ z_1= -i -1}\)


Nie jest prawdą, że liczba \(\displaystyle{ -i-1}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(z)}\)

[szw1710]

Jest bardzo ważne twierdzenie. Mianowicie jeśli \(\displaystyle{ z=a+bi}\) jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to sprzężenie \(\displaystyle{ \bar{z}=a-bi}\) też jest jego pierwiastkiem. A zatem pierwiastkiem jest też \(\displaystyle{ z_2=i-1}\). Mnożymy \(\displaystyle{ (z-z_1)(z-z_2)}\), a wyjdzie z tego trójmian o współczynnikach rzeczywistych. Podziel przez niego wyjściowy wielomian, będzie drugi trójmian i po sprawie. To zadanie na znajomość twierdzenia, które wspomniałem. Nie na dzielenie przez \(\displaystyle{ z-z_1}\), bo ugrzęźniesz w rachunkach i co Ci z tego, że dostaniesz wielomian trzeciego stopnia?

[xxxo]

dziękuje. dla pewności... jeżeli dla powyższego zadania jednym z pierwiastków była by liczba \(\displaystyle{ z_{1} = i}\) to sprawdzam czy pierwiastkiem jest również \(\displaystyle{ -i}\) ?

[szw1710]

Nie sprawdzasz, tylko jest na pewno. Ale tutaj nie jest