3 pytania: residua, transformata laplace'a, bieguny

[mechatronik300]

Witam
Mam trzy pytania:
1.
-Jeśli chcę zbadać całkę niewłaściwą za pomocą residua i funkcja posiada jednokrotny biegun dodatni i jednokrotny biegun ujemny to liczymy residum (nie wiem jak dokładnie odmienia się to słowo) w punkcie dodatnim?
-Jeśli liczymy całkę po zadanym obszarze np. koło to residua liczymy tylko w punktach należących do obszaru całkowania?
2.
-Czy mogę liczyć transformatę odwrotną za pomocą tw. o splocie funkcji?
-jeśli mam przykładową transformatę \(\displaystyle{ \frac{1}{s(s-2)+4}}\) to czy właściwy jest rozkład na ułamki proste
\(\displaystyle{ \frac{1}{s(s-2)+4}= \frac{A}{s}+ \frac{B}{s-2}+ \frac{0}{4}}\) ?
3.
-Czy właściwie wskazałem bieguny funkcji?
\(\displaystyle{ \frac{1}{z ^{2} +1}}\)
Można ją rozłożyć na
\(\displaystyle{ \frac{1}{(z+i)(z-i)}}\)
i z tego wynika że,
\(\displaystyle{ z_{0} =i}\) oraz \(\displaystyle{ z_{0}=-i}\)
oba te punkty to bieguny jednokrotne

Proszę o w miarę szybką odpowiedź

[przemokraw]

1) Nie do końca rozumiem pytanie. Z definicji, jeśli funkcję \(\displaystyle{ f}\) rozwiniemy w szereg Laurenta wokół punkty \(\displaystyle{ p}\), tj. \(\displaystyle{ f(z) = \sum_{n \in \ZZ} c_n(z - p)^n}\)
i \(\displaystyle{ k(p) = inf\left\{ i \in \ZZ : c_i \neq 0\right\}}\), to \(\displaystyle{ f}\) ma w \(\displaystyle{ p}\) biegun rzędu \(\displaystyle{ \left| k\right|}\)
, jeśli \(\displaystyle{ k(p) < 0}\) i \(\displaystyle{ k(p) > -\infty}\). O co więc chodzi z podziałem biegunów na dodatni i ujemny?

Odpowiedź na drugą część tego pytania to "tak".

3) Tak

[mechatronik300]

Chodzi mi o punkty w dodatniej płaszczyźnie Im a już znalazłem potwierdzenie i do liczenia całki niewłaściwej wedle skryptu liczymy residua w pkt w dodatniej płaszczyźnie Im. A co do tego splotu to za jego pomocą wyznaczamy oryginały i jeśli mamy do rozłożenia na ułamki proste taka transformatę to splotem wychodzi bardzo prosto a rozkładem nie wiem czy może być tak jak napisałem w przykładzie 2?

[przemokraw]

Niestety, nie znam definicji transformaty. Ale jeśli chodzi o ten rozkład na ułamki proste, to chyba coś z nim jest nie tak. Domyślam się, że \(\displaystyle{ s \in \CC}\), więc mógłbyś wyrażenie z mianownika zapisać jako \(\displaystyle{ s^2 - 2s + 4}\) i znaleźć pierwiastki zespolone \(\displaystyle{ s_0}\) i \(\displaystyle{ s_1}\). Wtedy mógłbyś zapisać to wyrażenie jako \(\displaystyle{ \frac{1}{(s - s_0)(s - s_1)}}\) i dopiero wtedy rozłożyć na ułamki proste, czyli na sumę \(\displaystyle{ \frac{A}{s - s_0} + \frac{B}{s - s_1}}\).

[mechatronik300]

A bez zespolonych:
\(\displaystyle{ \frac{As+B}{ s^{2}-2s+4}}\)
jest poprawnie?

Definicja transformaty (całka Laplace'a) \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty }f(t) e^{-st} dt}\) to też wygląda (podobnie) jak splot za pomocą transformaty wyznaczamy oryginały i za pomocą splotu także... Ale nigdzie nie znalazłem potwierdzenia.

I jeszcze jedno pytanie:
jak obliczyć residua funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{z\tg z}}\)?
\(\displaystyle{ z=0}\) oraz \(\displaystyle{ z=k \pi}\) są biegunami jednokrotnymi funkcji.
\(\displaystyle{ res_{z=0} = \lim_{z \to 0}(z-0) \frac{1}{z\tg z} = \infty}\) czyli nie ma residum?
dla punktów \(\displaystyle{ z=k \pi, k \in C \setminus \{ 0 \}}\) stosujemy wzór \(\displaystyle{ \frac{g(z)}{h'(z)}}\) bo \(\displaystyle{ h( z=o)=0}\)
Dobrze to rozumiem?

[Dasio11]

Wzór

\(\displaystyle{ \mathrm{res}_{z=0} f(z) = \lim_{z \to 0} z f(z)}\)

działa tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ f}\) ma w \(\displaystyle{ 0}\) biegun jednokrotny, a tak nie jest w przypadku funkcji \(\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{z \tg z}.}\)

Ale funkcja \(\displaystyle{ \frac{1}{z \tg z}}\) jest parzysta i holomorficzna w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ 0,}\) więc rozwija się w szereg Laurenta, w którym wszystkie wyrazy przy nieparzystych potęgach są zerowe. To oznacza, że

\(\displaystyle{ \mathrm{res}_{z=0} f(z) = a_{-1} = 0.}\)

[mechatronik300]

Dzięki za odpowiedź