Zbiór liczb zespolonych

[toczek]

W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie \(\displaystyle{ (z+i)^{4} = (-1+i)^{4}}\). Wynik przedstawić w postaci algebraicznej.

[norwimaj]

\(\displaystyle{ \left(\frac{z+1}{-1+i}\right)^4=1.}\)

Zatem \(\displaystyle{ \frac{z+1}{-1+i}=\ldots}\)

[ewardfggdfs]

Czyli wynik to:

\(\displaystyle{ z=-2+i}\)

?

[yorgin]

A ile wynosi \(\displaystyle{ \sqrt[4]{1}}\) w zbiorze liczb zespolonych?

Nie, nie jest to tylko jedynka.

[ewardfggdfs]

Więc należy obliczyć pierwiastek czwartego stopnia z 1 za pomocą funkcji trygonometrycznych po czym te 4 przypadki skonfrontować z lewą stroną równania. Więc wyjdą 4 różne wyniki, w tym dwa podwójne, czyli \(\displaystyle{ z_1=-2+i}\) oraz \(\displaystyle{ z_2=-i}\) ?
Dziękuję za pomoc

[yorgin]

Raczej nie chcą wyjść podwójne. Według moich obliczeń wszystkie cztery są różne.

[ewardfggdfs]

Ma Pan rację, wyjdą 4 różne rozwiązania, pierwiastek czwartego stopnia z 1 jest rowny {\(\displaystyle{ 1, i, -1, -i}\)}.
Bardzo dziękuję za pomoc.