Rozwiąż równanie 4-tego stopnia.

[Bartosz93]

Witam serdecznie dostałem na kolokwium takie zadanie, lecz nie wiem czy wykonałem je dobrze. Zgodnie z zasadniczym twierdzeniem algebry ilość rozwiązań jest równa stopnia równania. Wszak wyszły cztery tak, ale nie wiem czy dobrze. Oto zadanie.

\(\displaystyle{ x^{4} + x^{2} + 1 = 0}\)

\(\displaystyle{ \left( x^{4} + 2x^{2} + 1 \right) - x^{2} = 0}\)

\(\displaystyle{ \left( x^{2} + 1 \right) ^{2} - x^{2} = 0}\)

\(\displaystyle{ \left[ \left( x^{2} + 1 \right) - x \right] \cdot \left[ \left( x^{2} + 1 \right) + x \right] = 0}\)

Następnie policzyłem delty oby dwóch nawiasów kwadratowych. Wyszło tak samo, dlatego nie będę pisać dwa razy.
\(\displaystyle{ d_{1} = 1 - 4 \left( 1 \right) \left( 1 \right) = -3 = 3i^{2}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{d_{1}} = i \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{1}{2} + i\frac{ \sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ x_{2} = \frac{1}{2} - i\frac{ \sqrt{3}}{2}}\)
Dla drugiej delty rozwiązania powtórzyły się.

I teraz pytanie, czy mogą się powtórzyć rozwiązania równania czy muszą być różne? Jeśli nie może tak być to może ktoś chętny podrzuci jakiś pomysł?

Pozdrawiam Bartosz.

[yorgin]

Rozwiązania nie powtórzą się w obu nawiasach, gdyż masz różne współczynniki przy pierwszych potęgach \(\displaystyle{ x}\).

[Bartosz93]

Już widzę jaki błąd, patrzyłem w zeszyt jak taki głupek i nie wiedziałem co jest nie tak, ahh te znaki, teraz już wszystko wiadomo, dzięki Ci!

Pozdrawiam, Bartosz

[norwimaj]

\(\displaystyle{ x^4+x^2+1=\frac{x^6-1}{x^2-1}}\)

Rozwiązaniami są pierwiastki szóstego stopnia z jedynki, z wyjątkiem \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\).

[Bartosz93]

Nie wydaje mi się ażeby było to poprawne rozwiązanie, może powiedz jak do tego doszedłeś, bo mi po poprawieniu wyszły cztery wyniki o różnych znakach.

Dokładnie takie:

\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{1}{2} + i\frac{ \sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ x_{2} = \frac{1}{2} - i\frac{ \sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ x_{3} = -\frac{1}{2} - i\frac{ \sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ x_{4} = -\frac{1}{2} + i\frac{ \sqrt{3}}{2}}\)

[Dasio11]

To są pierwiastki, o których pisał norwimaj, tylko wyrażone jawnie.