wyznaczanie pierwiastków

kaaczmar · Post autor: **kaaczmar** » 7 lut 2013, o 15:22

Pierwiastek równania \(\displaystyle{ z ^{2} +8z+19=0}\) spełniający warunek \(\displaystyle{ \left| (1+i)(z+4-i)\right|<2}\) jest pierwiastkiem 3-go stopnia pewnej liczby zespolonej w. Wyznaczyć (w postaci algebraicznej) dwa pozostałe pierwiastki liczby w.

Wyznaczyłem \(\displaystyle{ z=-4+ \sqrt{3} i}\), i jak teraz policzyć pozostałe dwa pierwiastki?

octahedron · Post autor: **octahedron** » 7 lut 2013, o 15:38

\(\displaystyle{ z_2=z_1e^{i\frac{2\pi}{3}}\\\\
z_3=z_1e^{i\frac{4\pi}{3}}}\)

kaaczmar · Post autor: **kaaczmar** » 7 lut 2013, o 16:30

Jest jakiś inny sposób?

octahedron · Post autor: **octahedron** » 7 lut 2013, o 16:39

A dlaczego inny? Argument kolejnych pierwiastków stopnia \(\displaystyle{ n}\) różnią się o \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{n}}\), czyli mnożymy pierwiastek przez \(\displaystyle{ e^{i\frac{2\pi}{3}}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

kaaczmar · Post autor: **kaaczmar** » 8 lut 2013, o 07:39

Nie chodzi mi o to, że to jest zła metoda. Interesuje mnie czy jest inna ponieważ to zadanie jest z tegorocznego egzaminu a pierwszy raz spotykam sie z takim rozwiązaniem jak twoje.

octahedron · Post autor: **octahedron** » 8 lut 2013, o 07:52

A jak takie coś zwykle rozwiązywaliście?

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 8 lut 2013, o 07:56

Tu masz przykład obliczania pierwiastka kwadratowego liczby zespolonej: https://www.matematyka.pl/320087.htm
Przy sześciennym potęga zmieni się na 3.

octahedron · Post autor: **octahedron** » 8 lut 2013, o 11:48

A jak to rozwiązać dla trzeciej potęgi?