Zaznaczyć na płaszczyźnie

[land6226]

5) Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 2 \Re \frac{1}{ \overline z } > 1 \ \right\}}\)

Nie mogę tego wykombinować , to \(\displaystyle{ 2 \, \Re}\) co z tym zrobić ???

[sneik555]

podstawiasz \(\displaystyle{ z=a+bi}\), i wyliczasz jak to wygląda, a później wyciągasz z tego część rzeczywistą

[land6226]

dobrze ale to \(\displaystyle{ 2}\) przed \(\displaystyle{ \Re}\) - co to robi ?????

[bb314]

\(\displaystyle{ \blue 2 \, \Re \left( \frac{1}{\overline z}\right) >1}\)

\(\displaystyle{ 2 \, \Re \left( \frac{1}{\overline z}\right) >1\ \ \green \Rightarrow \black\ \ \Re \left( \frac{1}{\overline z}\right) >\frac12}\)

\(\displaystyle{ z=x+yi\ \ \green \Rightarrow \black\ \ \overline z=x-yi}\)

\(\displaystyle{ a=\frac{1}{\overline z}=\frac{1}{x-yi}=\frac{x+yi}{(x-yi)(x+yi)}=\frac{x+yi}{x^2-(yi)^2}=\frac{x+yi}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{y}{x^2+y^2}\cdot i}\)

\(\displaystyle{ \Re(a)=\frac{x}{x^2+y^2}\ \ \green \Rightarrow \black\ \ \frac{x}{x^2+y^2}>\frac12\ \ \green \Rightarrow \black\ \ x^2+y^2<2x\ \ \green \Rightarrow \black\ \ x^2-2x+y^2<0\ \ \green \Rightarrow}\)

\(\displaystyle{ \ \ \green \Rightarrow \black\ \ x^2-2x+1+y^2<1\ \ \green \Rightarrow \red\ \ (x-1)^2+y^2<1}\)

na płaszczyźnie zespolonej jest to wnętrze okręgu o środku w \(\displaystyle{ (1,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r=1}\)

[Ser Cubus]

\(\displaystyle{ \Re(z)}\) oznacza część rzeczywistą z liczby zespolonej czyli przy oznaczeniu:
\(\displaystyle{ z = x + iy}\)
częścią rzeczywistą jest \(\displaystyle{ x}\)