Liczby zespolone zadania

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
land6226
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 4 kwie 2011, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

Liczby zespolone zadania

Post autor: land6226 »

1) Jednym z elementów zbioru \(\displaystyle{ \sqrt[9]{z}}\) jest liczba \(\displaystyle{ Z_{o}=i- \sqrt{3}}\). Znaleźć Z oraz \(\displaystyle{ \sqrt[3]{Z}}\)

2) Narysować zbiór liczb zespolonych Z spełniających warunek \(\displaystyle{ 2 \le \left|iz-5 \right| < 3}\)

3) Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór liczb Z spełniających warunek \(\displaystyle{ Z* \frac{}{Z} +(5+i)Z+(5-i) \frac{}{Z}+1 = 0}\)

4) Oblicz \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{1}{ ^{(1-i) ^{2} } } }}\). Wynik podać w postaci algebraicznej i przedstawić na płaszczyźnie zespolonej.

5) Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 2Re ( \frac{1}{Z}) > 1 \ \right\}}\)

6) Obliczyć \(\displaystyle{ (- \sqrt{3}+ i) ^{32}}\)
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

Liczby zespolone zadania

Post autor: chris_f »

Pokaż co zrobiłeś (lub próbowałeś zrobić sam). Bez tego nie wiemy, co wiesz i rozumiesz, a z czym masz problem.
land6226
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 4 kwie 2011, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

Liczby zespolone zadania

Post autor: land6226 »

Tak jak by nie patrząc to na wszystkim ....
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

Liczby zespolone zadania

Post autor: chris_f »

1. Skoro wiesz, że \(\displaystyle{ i-\sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem dziewiątego stopnia z \(\displaystyle{ z}\), to podnieś do dziewiątej i dostaniesz \(\displaystyle{ z}\), a potem trzeci pierwiastek ze wzoru.
2. Wskazówka: \(\displaystyle{ |iz-5|=\left|\frac{(iz-5)i}{i}\right|=|-5i-z|}\) a moduł z różnicy liczb zepsolonych jest odległością. Zbiór punktów, których odległość od ustalonego jest mniejszy lub większy od liczby tworzy?
3.Oznacz \(\displaystyle{ z=x+iy}\), wykonaj działania i przyrównaj części rzeczywiste i urojone. Otrzymane wyniki zinterpretuj na zwykłej płaszczyźnie.
4. Wykonaj podnoszenie do kwadratu w mianowniku, pomnóż liczni i mianownik przez sprzężenie mianownika, zapisz postaci trygonometrycznej i zastosuj wzór na pierwiastek.
5. Tak samo jak w 3.
6. Zapisz liczbę w postaci trygonometrycznej i użyj wzoru de Moivre'a.
Awatar użytkownika
lightinside
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 796
Rejestracja: 25 lis 2011, o 22:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań/Łódź
Podziękował: 111 razy
Pomógł: 29 razy

Liczby zespolone zadania

Post autor: lightinside »

Wiesz jak zamienić na postać trygonometryczną?
land6226
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 4 kwie 2011, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

Liczby zespolone zadania

Post autor: land6226 »

No dziękuje za wskazówki, ale jak ktoś by mógł rozwiązać i wysłać mi link kartki ..... bym był wdzięczny
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

Liczby zespolone zadania

Post autor: chris_f »

Tak, jasne. Jeszcze wyrzucę za Ciebie śmieci, posprzątam w łazience i zjem kolację.
Coś jeszcze?
Bartosz93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 8 lut 2013, o 13:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz

Liczby zespolone zadania

Post autor: Bartosz93 »

Miałem takie samo zadanie jak kolega. To pierwsze i nie wiem czy jest dobrze wykonane, sprawdzi ktoś?

1. \(\displaystyle{ Z_{0} = i - \sqrt{3}}\) podniosłem do potęgi dziewiątej.
\(\displaystyle{ (i - \sqrt{3})^9 = [(i - \sqrt{3})^{3}]^{3} = -512i}\)

No i to co powyżej to liczba \(\displaystyle{ z}\). Czyli pierwsze juz znalezione.
Teraz ażeby dostać rozwiązania \(\displaystyle{ \sqrt[3]{z}}\) użyłem wzoru na szukanie pierwiastków.

Pierwiastek pierwszy.
\(\displaystyle{ w_{0} = \sqrt[3]{512} \left( \cos \left( \frac{ \frac{3}{2}\pi }{3} \right) i\sin \left( \frac{ \frac{3}{2}\pi }{3} \right) \right) = 8 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2} \right) = 8i}\)

Kolejne pierwiastki wynosiły:
\(\displaystyle{ w_{1} = -4(\sqrt{3} + i)}\)

\(\displaystyle{ w_{2} = 4(\sqrt{3} - i)}\)

Proszę, niech ktoś luknie, bo zastanawiam sie czy na pewno jest dobrze, czy może gdzieś w liczeniu popełniłem błąd.
Ostatnio zmieniony 8 lut 2013, o 18:40 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

Liczby zespolone zadania

Post autor: chris_f »

Nie wiem, nie sprawdzam ,porównaj z moimi wynikami.
ja bym to zrobił zamieniając liczbę pod pierwiastkiem na postać trygonometryczną:
\(\displaystyle{ |-\sqrt{3}+i|=\sqrt{3+1}=2}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{-\sqrt{3}}{2}\quad, \sin\varphi=\frac{1}{2}}\)
skąd odczytujemy, że \(\displaystyle{ \varphi=\frac{7\pi}{6}}\)
To mamy oczywiście liczbę
\(\displaystyle{ z=(-\sqrt{3}+i)^9=2^9\left(\cos\left(9\cdot\frac{7\pi}{6}+i\sin9\cdot\frac{7\pi}{6}\right)\right)=2^9\left(\cos\frac{21\pi}{2}+i\sin\frac{21\pi}{2}\right)=}\)
\(\displaystyle{ =2^9(0-i)=-2^9i}\)
tyle, że do obliczenia pierwiastka ważniejsza jest postać trygonometryczna (nie ta końcowa - ona jest odpowiedzią na wcześniejsze pytanie), a wygląda na to, że wzór na pierwiastek zastosowałeś prawidłowo.
Jeszcze raz podkreślam, nie cierpię sprawdzania, wolę sam coś zrobić, ale wygląda na to, że masz wszystko prawie OK. (sprawdź jeszcze, bo coś mi się nie podoba, ile wynosi \(\displaystyle{ \sqrt[3]{512}}\), bo coś mi tu nie pasuje i znaki).
ODPOWIEDZ