Liczby zespolone zadania
Liczby zespolone zadania
1) Jednym z elementów zbioru \(\displaystyle{ \sqrt[9]{z}}\) jest liczba \(\displaystyle{ Z_{o}=i- \sqrt{3}}\). Znaleźć Z oraz \(\displaystyle{ \sqrt[3]{Z}}\)
2) Narysować zbiór liczb zespolonych Z spełniających warunek \(\displaystyle{ 2 \le \left|iz-5 \right| < 3}\)
3) Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór liczb Z spełniających warunek \(\displaystyle{ Z* \frac{}{Z} +(5+i)Z+(5-i) \frac{}{Z}+1 = 0}\)
4) Oblicz \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{1}{ ^{(1-i) ^{2} } } }}\). Wynik podać w postaci algebraicznej i przedstawić na płaszczyźnie zespolonej.
5) Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 2Re ( \frac{1}{Z}) > 1 \ \right\}}\)
6) Obliczyć \(\displaystyle{ (- \sqrt{3}+ i) ^{32}}\)
2) Narysować zbiór liczb zespolonych Z spełniających warunek \(\displaystyle{ 2 \le \left|iz-5 \right| < 3}\)
3) Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór liczb Z spełniających warunek \(\displaystyle{ Z* \frac{}{Z} +(5+i)Z+(5-i) \frac{}{Z}+1 = 0}\)
4) Oblicz \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{1}{ ^{(1-i) ^{2} } } }}\). Wynik podać w postaci algebraicznej i przedstawić na płaszczyźnie zespolonej.
5) Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 2Re ( \frac{1}{Z}) > 1 \ \right\}}\)
6) Obliczyć \(\displaystyle{ (- \sqrt{3}+ i) ^{32}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Liczby zespolone zadania
1. Skoro wiesz, że \(\displaystyle{ i-\sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem dziewiątego stopnia z \(\displaystyle{ z}\), to podnieś do dziewiątej i dostaniesz \(\displaystyle{ z}\), a potem trzeci pierwiastek ze wzoru.
2. Wskazówka: \(\displaystyle{ |iz-5|=\left|\frac{(iz-5)i}{i}\right|=|-5i-z|}\) a moduł z różnicy liczb zepsolonych jest odległością. Zbiór punktów, których odległość od ustalonego jest mniejszy lub większy od liczby tworzy?
3.Oznacz \(\displaystyle{ z=x+iy}\), wykonaj działania i przyrównaj części rzeczywiste i urojone. Otrzymane wyniki zinterpretuj na zwykłej płaszczyźnie.
4. Wykonaj podnoszenie do kwadratu w mianowniku, pomnóż liczni i mianownik przez sprzężenie mianownika, zapisz postaci trygonometrycznej i zastosuj wzór na pierwiastek.
5. Tak samo jak w 3.
6. Zapisz liczbę w postaci trygonometrycznej i użyj wzoru de Moivre'a.
2. Wskazówka: \(\displaystyle{ |iz-5|=\left|\frac{(iz-5)i}{i}\right|=|-5i-z|}\) a moduł z różnicy liczb zepsolonych jest odległością. Zbiór punktów, których odległość od ustalonego jest mniejszy lub większy od liczby tworzy?
3.Oznacz \(\displaystyle{ z=x+iy}\), wykonaj działania i przyrównaj części rzeczywiste i urojone. Otrzymane wyniki zinterpretuj na zwykłej płaszczyźnie.
4. Wykonaj podnoszenie do kwadratu w mianowniku, pomnóż liczni i mianownik przez sprzężenie mianownika, zapisz postaci trygonometrycznej i zastosuj wzór na pierwiastek.
5. Tak samo jak w 3.
6. Zapisz liczbę w postaci trygonometrycznej i użyj wzoru de Moivre'a.
- lightinside
- Użytkownik
- Posty: 796
- Rejestracja: 25 lis 2011, o 22:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań/Łódź
- Podziękował: 111 razy
- Pomógł: 29 razy
Liczby zespolone zadania
No dziękuje za wskazówki, ale jak ktoś by mógł rozwiązać i wysłać mi link kartki ..... bym był wdzięczny
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 8 lut 2013, o 13:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 1 raz
Liczby zespolone zadania
Miałem takie samo zadanie jak kolega. To pierwsze i nie wiem czy jest dobrze wykonane, sprawdzi ktoś?
1. \(\displaystyle{ Z_{0} = i - \sqrt{3}}\) podniosłem do potęgi dziewiątej.
\(\displaystyle{ (i - \sqrt{3})^9 = [(i - \sqrt{3})^{3}]^{3} = -512i}\)
No i to co powyżej to liczba \(\displaystyle{ z}\). Czyli pierwsze juz znalezione.
Teraz ażeby dostać rozwiązania \(\displaystyle{ \sqrt[3]{z}}\) użyłem wzoru na szukanie pierwiastków.
Pierwiastek pierwszy.
\(\displaystyle{ w_{0} = \sqrt[3]{512} \left( \cos \left( \frac{ \frac{3}{2}\pi }{3} \right) i\sin \left( \frac{ \frac{3}{2}\pi }{3} \right) \right) = 8 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2} \right) = 8i}\)
Kolejne pierwiastki wynosiły:
\(\displaystyle{ w_{1} = -4(\sqrt{3} + i)}\)
\(\displaystyle{ w_{2} = 4(\sqrt{3} - i)}\)
Proszę, niech ktoś luknie, bo zastanawiam sie czy na pewno jest dobrze, czy może gdzieś w liczeniu popełniłem błąd.
1. \(\displaystyle{ Z_{0} = i - \sqrt{3}}\) podniosłem do potęgi dziewiątej.
\(\displaystyle{ (i - \sqrt{3})^9 = [(i - \sqrt{3})^{3}]^{3} = -512i}\)
No i to co powyżej to liczba \(\displaystyle{ z}\). Czyli pierwsze juz znalezione.
Teraz ażeby dostać rozwiązania \(\displaystyle{ \sqrt[3]{z}}\) użyłem wzoru na szukanie pierwiastków.
Pierwiastek pierwszy.
\(\displaystyle{ w_{0} = \sqrt[3]{512} \left( \cos \left( \frac{ \frac{3}{2}\pi }{3} \right) i\sin \left( \frac{ \frac{3}{2}\pi }{3} \right) \right) = 8 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2} \right) = 8i}\)
Kolejne pierwiastki wynosiły:
\(\displaystyle{ w_{1} = -4(\sqrt{3} + i)}\)
\(\displaystyle{ w_{2} = 4(\sqrt{3} - i)}\)
Proszę, niech ktoś luknie, bo zastanawiam sie czy na pewno jest dobrze, czy może gdzieś w liczeniu popełniłem błąd.
Ostatnio zmieniony 8 lut 2013, o 18:40 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Liczby zespolone zadania
Nie wiem, nie sprawdzam ,porównaj z moimi wynikami.
ja bym to zrobił zamieniając liczbę pod pierwiastkiem na postać trygonometryczną:
\(\displaystyle{ |-\sqrt{3}+i|=\sqrt{3+1}=2}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{-\sqrt{3}}{2}\quad, \sin\varphi=\frac{1}{2}}\)
skąd odczytujemy, że \(\displaystyle{ \varphi=\frac{7\pi}{6}}\)
To mamy oczywiście liczbę
\(\displaystyle{ z=(-\sqrt{3}+i)^9=2^9\left(\cos\left(9\cdot\frac{7\pi}{6}+i\sin9\cdot\frac{7\pi}{6}\right)\right)=2^9\left(\cos\frac{21\pi}{2}+i\sin\frac{21\pi}{2}\right)=}\)
\(\displaystyle{ =2^9(0-i)=-2^9i}\)
tyle, że do obliczenia pierwiastka ważniejsza jest postać trygonometryczna (nie ta końcowa - ona jest odpowiedzią na wcześniejsze pytanie), a wygląda na to, że wzór na pierwiastek zastosowałeś prawidłowo.
Jeszcze raz podkreślam, nie cierpię sprawdzania, wolę sam coś zrobić, ale wygląda na to, że masz wszystko prawie OK. (sprawdź jeszcze, bo coś mi się nie podoba, ile wynosi \(\displaystyle{ \sqrt[3]{512}}\), bo coś mi tu nie pasuje i znaki).
ja bym to zrobił zamieniając liczbę pod pierwiastkiem na postać trygonometryczną:
\(\displaystyle{ |-\sqrt{3}+i|=\sqrt{3+1}=2}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{-\sqrt{3}}{2}\quad, \sin\varphi=\frac{1}{2}}\)
skąd odczytujemy, że \(\displaystyle{ \varphi=\frac{7\pi}{6}}\)
To mamy oczywiście liczbę
\(\displaystyle{ z=(-\sqrt{3}+i)^9=2^9\left(\cos\left(9\cdot\frac{7\pi}{6}+i\sin9\cdot\frac{7\pi}{6}\right)\right)=2^9\left(\cos\frac{21\pi}{2}+i\sin\frac{21\pi}{2}\right)=}\)
\(\displaystyle{ =2^9(0-i)=-2^9i}\)
tyle, że do obliczenia pierwiastka ważniejsza jest postać trygonometryczna (nie ta końcowa - ona jest odpowiedzią na wcześniejsze pytanie), a wygląda na to, że wzór na pierwiastek zastosowałeś prawidłowo.
Jeszcze raz podkreślam, nie cierpię sprawdzania, wolę sam coś zrobić, ale wygląda na to, że masz wszystko prawie OK. (sprawdź jeszcze, bo coś mi się nie podoba, ile wynosi \(\displaystyle{ \sqrt[3]{512}}\), bo coś mi tu nie pasuje i znaki).