zawieranie się zbioru w zależności od parametru

[Grypho]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ \lambda \in R}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \left\{ z \in C:|z| ^{2} < \lambda \right\} \subset \left\{ z \in C:Re(z)+Im(z)< \lambda\right\}}\)

[acmilan]

Hmm spróbuj narysować te zbiory. Pierwszy to koło o środku w \(\displaystyle{ (0,0)}\), a drugi to półpłaszczyzna.

[Grypho]

Próbowałem narysować, ten drugi przyjąłem sobie jako sumę dwóch dowolnych liczb rzeczywistych, ograniczoną z góry lambdą, ale chyba nie o to tu chodziło...

[acmilan]

O to chodziło. No i narysowałeś i nie wyszło?

[Grypho]

Narysowałem.
Mamy tak:
koło o środku w pkcie (0,0) jak mówiłeś i promieniu \(\displaystyle{ \lambda}\)
półpłaszczyznę od \(\displaystyle{ -\infty}\) do \(\displaystyle{ \lambda}\)
Oczywiste jest że lambda musi być większa (co do modułu?) od zera, ale co dalej?

[acmilan]

Promień wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{\lambda}}\)

[Grypho]

Mój błąd, masz rację. I co z tym dalej zrobić? jak wyznaczyć lambdę?

[acmilan]

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/1F5m/

Taki masz rysunek?

-- 5 lut 2013, o 10:51 --

I teraz masz \(\displaystyle{ \lambda \ge \sqrt{2\lambda} \Rightarrow \lambda \ge 2}\)

(oj pomyliłem osie na rysunku )

[Grypho]

Możesz pokazać skąd wziąłeś \(\displaystyle{ \sqrt{2\lambda}}\)? Czy to tylko oszacowanie takie?

[acmilan]

Wziąłem stąd, że prosta równoległa do prostej \(\displaystyle{ Re z+Im z=a}\) przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ \left(\sqrt{\frac{\lambda}{2}},\sqrt{\frac{\lambda}{2}}\right)}\) przecina oś \(\displaystyle{ Im}\) na wysokości \(\displaystyle{ \sqrt{2\lambda}}\).

[Grypho]

Bierzemy to z
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{\frac{\lambda}{2}}\) czyli z dodania tych liczb rzeczywistych, jak rozumiem, i pkt przecięcia z Re(z) i z Im(z) jest taki sam, wynosi właśnie \(\displaystyle{ \sqrt{2\lambda}}\), tak?

[acmilan]

Tak.

[Grypho]

Jeszcze jedna rzecz do rysunku: ten pkt \(\displaystyle{ \left(\sqrt{\frac{\lambda}{2}},\sqrt{\frac{\lambda}{2}}\right)}\) nie powinien chyba leżeć na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt\lambda}\)

[acmilan]

\(\displaystyle{ \sqrt{\left( \sqrt{\frac{\lambda}{2}}\right)^{2} + \left( \sqrt{\frac{\lambda}{2}}\right)^{2}} = \sqrt{\lambda}}\)

Czyli punkt \(\displaystyle{ \left(\sqrt{\frac{\lambda}{2}},\sqrt{\frac{\lambda}{2}}\right)}\) jest w odległości \(\displaystyle{ \sqrt{\lambda}}\) od \(\displaystyle{ (0,0)}\). Powinien.

[Grypho]

Fakt, przecież to jest okrąg a nie prosta... Czyli przez ten pkt przechodzi jednocześnie okrąg i prosta której punktów przecięcia z osiami szukaliśmy - co jest kluczem tego zadania, tak?