wzoru Moivre'a

[kubeiks]

Mógłby mi ktoś objaśnić skąd się bierze wynik we wzorze Moivre'a?

[octahedron]

Ogólnie z własności mnożenia liczb zespolonych: mnożymy moduły i dodajemy argumenty.

[kubeiks]

Przykład:
\(\displaystyle{ \begin{array}{c}
a \to \\
b \to
\end{array}
\frac{(1+j)^3}{(1-j)^4}}\)

a) \(\displaystyle{ (1+j)^3 \qquad \qquad z=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \cos = \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \qquad \varphi=45^{\circ} \\ \\
\begin{array}{lcl}
\sin = \cfrac{\sqrt{2}}{2} & \qquad \qquad & z^3=\sqrt{2}^3 \left( \cos \frac{1}{4} \cdot 3 \pi + j \sin 3 \cdot \frac{1}{4} \right) \\ \\
& & \underbrace{z^3=2 \sqrt{2} \left( \cos \frac{3}{4} \pi + j \sin \frac{3}{4} \pi \right) = \ \ ? \ x}_a
\end{array}}\)


b) \(\displaystyle{ z=\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \cos = \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \qquad \varphi=315^{\circ} \\ \\
\begin{array}{lcl}
\sin = -\cfrac{\sqrt{2}}{2} & \qquad \qquad & z^4=4 \left( \cos 4 \cdot \frac{7}{4} \pi + j \sin 4 \cdot \frac{7}{4} \pi \right) \\ \\
& & \underbrace{z^4=4 \left( \cos 7 \pi + j \sin 7 \pi \right) = \ \ ? \ x}_b
\end{array}}\)


to jest moje zadanie. Mógłbyś mi na tym przykładzie opisać dokładnie co przez co muszę wymnożyć? Zapomniałem oznaczyć niewiadome x. Więc załóżmy, że wynikiem \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ x_1,}\) a wynikiem \(\displaystyle{ b}\) jest \(\displaystyle{ x_2.}\) Zatem wynikiem końcowym będzie dzielenie \(\displaystyle{ \frac{x_1}{x_2}}\) ?

[octahedron]

Tak, ale tu możemy po prostu podzielić moduły i odjąć argumenty.

[kubeiks]

Byłbym bardzo wdzięczny gdybyś mógł opierać swoje odpowiedzi na podanych wartościach

-- 4 lut 2013, o 22:33 --

Mam po prostu problem z uzyskaniem \(\displaystyle{ x_1, x_2.}\) Napisałeś pomnożyć moduły. Ale w przykładzie \(\displaystyle{ a}\) jest tylko jeden moduł \(\displaystyle{ z}\) który wynosi \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}}\) jak widać na zdjęciu

[octahedron]

\(\displaystyle{ \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\\\
\arg\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{3}{4}\pi-7\pi=-6\frac{1}{4}\pi=-\frac{1}{4}\pi}\)

[kubeiks]

Dzięki wielkie Jedynym nierozwikłanym problemem pozostaje x. Gdybyś jeszcze mógł mi to wyjaśnić ?

[octahedron]

Ale tego nie trzeba liczyć, po co? Poza tym z czym jest problem, liczymy sinus i cosinus podanych kątów.

[kubeiks]

Doszedłem już do innego sposobu rozwiązania przy pomocy wzorów redukcyjnych Twój wzór też jest poprawny chociaż odpowiedzi błędne Dzięki

[octahedron]

A racja, poprawiłem błąd.