Wyznaczyć i naszkicować na płaszczyźnie zespolonej zbiór:
\(\displaystyle{ A=\left\{ z \in C:\Re(\bar{z}^{2}z) \le Re(z)\}}\)
Zbiór na płaszczyźnie zespolonej
-
bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Zbiór na płaszczyźnie zespolonej
\(\displaystyle{ \blue \Re(\bar{z}^{2}z) \le Re(z)}\)
\(\displaystyle{ z=x+yi\ \ \green \Rightarrow \black\ \ \bar{z}=x-yi\ \ \green \Rightarrow \black\ \ \left( \bar{z}\right)^2z=(x-yi)^2(x+yi)=}\)
\(\displaystyle{ =(x-yi)(x-yi)(x+yi)=(x-yi)(x^2+y^2)=x^3+xy^2-(x^2y+y^3)i}\)
\(\displaystyle{ \Re(\bar{z}^{2}z) \le Re(z)\ \ \green \Rightarrow \black\ \ x^3+xy^2\le x\ \ \green \Rightarrow \black\ \ x^3+xy^2-x \le 0\ \ \green \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ x(x^2+y^2)-x\le0\ \ \green \Rightarrow \black\ \ x(x^2+y^2-1)\le0\ \ \green \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \ \ \green \Rightarrow \black\ \ x\le0\ \ \wedge\ \ x^2+y^2\ge1\ \ \ \vee\ \ \ x\ge0\ \ \wedge\ \ x^2+y^2\le1}\)
obrazem tych zależności jest - rysujemy okrąg o środku w środku układu współrzędnych i promieniu \(\displaystyle{ r=1}\)
z lewej strony osi 0Y jest to obszar na zewnątrz tego okręgu, wraz z samym okręgiem
z prawej strony osi 0Y jest to wnętrze okręgu wraz z samym okręgiem
do tego cała oś 0Y
\(\displaystyle{ z=x+yi\ \ \green \Rightarrow \black\ \ \bar{z}=x-yi\ \ \green \Rightarrow \black\ \ \left( \bar{z}\right)^2z=(x-yi)^2(x+yi)=}\)
\(\displaystyle{ =(x-yi)(x-yi)(x+yi)=(x-yi)(x^2+y^2)=x^3+xy^2-(x^2y+y^3)i}\)
\(\displaystyle{ \Re(\bar{z}^{2}z) \le Re(z)\ \ \green \Rightarrow \black\ \ x^3+xy^2\le x\ \ \green \Rightarrow \black\ \ x^3+xy^2-x \le 0\ \ \green \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ x(x^2+y^2)-x\le0\ \ \green \Rightarrow \black\ \ x(x^2+y^2-1)\le0\ \ \green \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \ \ \green \Rightarrow \black\ \ x\le0\ \ \wedge\ \ x^2+y^2\ge1\ \ \ \vee\ \ \ x\ge0\ \ \wedge\ \ x^2+y^2\le1}\)
obrazem tych zależności jest - rysujemy okrąg o środku w środku układu współrzędnych i promieniu \(\displaystyle{ r=1}\)
z lewej strony osi 0Y jest to obszar na zewnątrz tego okręgu, wraz z samym okręgiem
z prawej strony osi 0Y jest to wnętrze okręgu wraz z samym okręgiem
do tego cała oś 0Y