wyznaczyć pierwiastki wielomianu
-
piotrek0493
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 27 kwie 2011, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 6 razy
wyznaczyć pierwiastki wielomianu
Wyznaczyć pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ z^{4}-2 x^{3}+7z ^{2}+6z-30}\) wiedząc że :\(\displaystyle{ z _{1} =1-3i}\)
-
bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
wyznaczyć pierwiastki wielomianu
\(\displaystyle{ \blue a=z^{4}-2 z^{3}+7z ^{2}+6z-30}\)
jeżeli jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ z _{1} =1-3i}\), a iloczyn wszystkich pierwiastków to \(\displaystyle{ -30}\), to musi być też pierwiastek \(\displaystyle{ \red z_2=1+3i}\), zatem
\(\displaystyle{ a=w(z)\cdot (z-z_1)\cdot (z-z_2)=w(z)\cdot(z-1-3i)(z-1+3i)=w(z)\cdot ([(z-1)^2-(3i)^2]=w(z)\cdot(z^2-2z+1+9)=w(z)\cdot(z^2-2z+10)}\)
\(\displaystyle{ w(z)=\frac{a}{z^2-2z+10}=\frac{z^{4}-2 z^{3}+7z ^{2}+6z-30}{z^2-2z+10}=z^2-3}\)
\(\displaystyle{ w(z)=0\ \ \green \Rightarrow \black\ \ z^2-3=0\ \ \green \Rightarrow \black\ \ z^2=3\ \ \green \Rightarrow \red\ z_3=-\sqrt3\ \ \ z_4=\sqrt3}\)
jeżeli jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ z _{1} =1-3i}\), a iloczyn wszystkich pierwiastków to \(\displaystyle{ -30}\), to musi być też pierwiastek \(\displaystyle{ \red z_2=1+3i}\), zatem
\(\displaystyle{ a=w(z)\cdot (z-z_1)\cdot (z-z_2)=w(z)\cdot(z-1-3i)(z-1+3i)=w(z)\cdot ([(z-1)^2-(3i)^2]=w(z)\cdot(z^2-2z+1+9)=w(z)\cdot(z^2-2z+10)}\)
\(\displaystyle{ w(z)=\frac{a}{z^2-2z+10}=\frac{z^{4}-2 z^{3}+7z ^{2}+6z-30}{z^2-2z+10}=z^2-3}\)
\(\displaystyle{ w(z)=0\ \ \green \Rightarrow \black\ \ z^2-3=0\ \ \green \Rightarrow \black\ \ z^2=3\ \ \green \Rightarrow \red\ z_3=-\sqrt3\ \ \ z_4=\sqrt3}\)