Równanie w dziedzinie zespolonej, naszkicować zbiór.

[sebool12]

Witam

Potrzebuje pomocy z tymi zadaniami
1. Rozwiązać równanie w dziedzinie zespolonej:
\(\displaystyle{ \left( z^{2}+\left( 2i-1\right)z-i \right) \left( z ^{4}-1 \right) =0}\)
2.Obliczyć:
a) \(\displaystyle{ Re \frac{2-i ^{3} }{1+2i}}\)
b)\(\displaystyle{ \left( -1+ \sqrt{3}i \right) ^{35}}\)
3.Naszkicować podany zbiór na płaszczyźnie zespolonej
\(\displaystyle{ \left\{ z \in C : \left| z-i\right|<2 \wedge \pi \le Arg z \le \frac{3}{2} \pi \right\}}\)

1.
\(\displaystyle{ \left( z^{2}+\left( 2i-1\right)z-i \right) \left( z ^{4}-1 \right) =0 \Leftrightarrow
\left( z^{2}+\left( 2i-1\right)z-i =0 \ \vee \ z ^{4}-1 =0 \right)}\)
Co z tym dalej? Różne cuda mi tu wychodzą ;/

2.
a) Czy wynik będzie tutaj \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\)
b)\(\displaystyle{ 8^{11} \cdot (-1+\sqrt{3}i)^{2}}\) - Jak podnieś to drugie do kwadratu ?
tzn \(\displaystyle{ -2+2 \sqrt{3}}\) Coś takiego ?


3. Nie mam w ogóle pojęcia jak to narysować

[yorgin]

1. Na czym te cuda polegają? Metoda jest poprawna..

2. a) tak

b) normalnie się podnosi.

3. Co mówi pierwszy warunek? Co mówi drugi warunek?

[sebool12]

1. Na czym te cuda polegają? Metoda jest poprawna..

2. a) tak

b) normalnie się podnosi.

3. Co mówi pierwszy warunek? Co mówi drugi warunek?

2.b) to ten wynik który podałem jest dobry ?

3. Własnie mam problem z tym początkiem \(\displaystyle{ \left| z-i\right|<2}\)

[yorgin]

Jest poprawny, o ile sam się nie pomyliłem w rachunkach.

Co do pytania o \(\displaystyle{ \left| z-i\right|<2}\) - są to te punkty, które są oddalone o co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\) od punktu \(\displaystyle{ i}\).

[sebool12]

Mógłbyś narysować ten wykreś np w paintcie i podesłać?


1. Co dokładnie robiło się z tym \(\displaystyle{ z ^{4}-1}\) ?

[yorgin]

Nie będę niczego rysować, tylko zmuszać do myślenia.

Zapisz sobie \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Teraz

\(\displaystyle{ \left| z-i\right|<2}\)

znaczy tyle, co

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-(y-1)^2}<2}\)

a to chyba potrafisz narysować?



Co robić z \(\displaystyle{ z^4-1?}\) Przyrównać do zera. W końcu to chcesz policzyć, tzn sam to napisałeś.

[sebool12]

Co robić z \(\displaystyle{ z^4-1?}\) Przyrównać do zera. W końcu to chcesz policzyć, tzn sam to napisałeś.

Tzn, że \(\displaystyle{ z= \sqrt[4]{1}}\) ??


\(\displaystyle{ z^{2}+\left( 2i-1\right)z-i =0}\)
Tutaj mam najpierw przemnożyć "z" przez nawias?

[yorgin]

Zależy, czy przez ten pierwiastek rozumiesz zbiór czy liczbę.

[sebool12]

Liczbe ?

[yorgin]

To źle. W dziedzinie zespolonej wielomian czwartego stopnia ma cztery pierwiastki.-- 2 lutego 2013, 20:38 --Literówka w jednym z moich postów, winno być
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2\red+\black(y-1)^2}<2}\)

[sebool12]

Niestety moja wykładowczyni nie uznała mi tego sposobu w 2b z rozbiciem potęgi ;/
Trzeba z użyciem postaci trygonometrycznej, tak więc, czy to niżej jest dobrze ?
\(\displaystyle{ \left( -1+ \sqrt{3}i \right) ^{35}}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{\left( -1\right) ^{2}+\left( \sqrt{3} \right) ^{2}}= \sqrt{1+3}=2}\)

\(\displaystyle{ \cos \varphi= \frac{-1}{2}=- \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin \varphi= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

Cos +, Sin- czyli II ćwiartka, czyli wzór

\(\displaystyle{ \pi -\alpha}\)

\(\displaystyle{ \alpha= \frac{ \pi }{3}}\)

Czyli

\(\displaystyle{ \pi - \frac{ \pi }{3}= \frac{2}{3} \pi}\)


\(\displaystyle{ \left( -1+ \sqrt{3}i \right) ^{35}=2 ^{13}\left( \cos \left( 13 \cdot \frac{2}{3} \pi\right)+ i \sin\left( (13 \cdot \frac{2}{3} \pi\right) \right)=8192\left( \cos 12 \pi + i \sin 12 \pi\right)}\)

Teraz zmiana znaków zgodnie z II ćwiartką

\(\displaystyle{ 8192\left( - \cos 12 \pi + i \sin 12 \pi\right)}\)

Hmm i teraz mam mały dylemat, bo zawsze trzeba było sprowadzić do najbliższej parzystej wartości + ta reszta i skracało się tą parzystą cześć i zostawiało tą resztę. A tutaj co? Skreślam to 12 i daje samo Pi?

[yorgin]

Dlaczego w tym miejscu masz trzynaski

\(\displaystyle{ \left( -1+ \sqrt{3}i \right) ^{35}=2 ^{13}\left( \cos \left( 13 \cdot \frac{2}{3} \pi\right)+ i \sin\left( (13 \cdot \frac{2}{3} \pi\right) \right)=8192\left( \cos 12 \pi + i \sin 12 \pi\right)}\)

skoro wykładnikiem jest \(\displaystyle{ 35}\)?

Aż do tego momentu wszystko było dobrze. Popraw wykładnik i argumenty funkcji trygonometrycznych.

[sebool12]

Omg, nie wiem xd Przez przypadek musiałem mieć w tle otworzony inny przykład i bez myślne z niego spisałem potęgę xd