Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór liczb zespolonych spełniających jednocześnie warunki: \(\displaystyle{ Re(z ^{3}) \le 0}\) (wykorzystać postać trygonometryczną) oraz \(\displaystyle{ |iz+1|<2}\) (wykonać geometryczną interpretacje modułu)
Ktoś jest wstanie wytłumaczyć o co w tym chodzi jutro mam egzamin i mogę właśnie spodziewać sie czegoś takiego ;/ Help
płaszczyzna zespolona
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
płaszczyzna zespolona
\(\displaystyle{ Re(z^3)\le0}\)
Liczbę zespoloną przedstawiamy w postaci trygonometrycznej
\(\displaystyle{ z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)}\)
Wtedy ze wzoru de Moivre'a mamy
\(\displaystyle{ z^3=|z|^3(\cos3\varphi+i\sin3\varphi)}\)
no i
\(\displaystyle{ Re(z^3)=Re(|z|^3(\cos3\varphi+i\sin3\varphi))=|z|^3\cos3\varphi}\)
Mamy zatem warunek
\(\displaystyle{ |z|^3\cos3\varphi\le0}\)
a ponieważ \(\displaystyle{ |z|\ge0}\) to daje nam, że \(\displaystyle{ \cos3\varphi\le0}\).
Mamy stąd, że
\(\displaystyle{ 3\varphi\in\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right]}\)
\(\displaystyle{ \varphi\in\left[\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3},\frac{3\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}\right]}\)
Oczywiście argument \(\displaystyle{ \varphi}\) musi należeć do przedziału \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\), a zatem
\(\displaystyle{ \varphi\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{3\pi}{6}\right]\cup
\left[\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{9\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right]}\)
Ten zbiór na płaszczyźnie zespolonej wygląda tak:
[/url]
Drugi warunek
\(\displaystyle{ |iz+1|<2}\)
\(\displaystyle{ \left|\frac{-z+i}{i}\right|<2}\)
\(\displaystyle{ |i-z|<2}\)
Oznacza to, że odległość pomiędzy liczbą \(\displaystyle{ z}\) a liczbą \(\displaystyle{ i}\) ma być mniejsza od dwóch, czyli chodzi o wnętrze koła o środku w \(\displaystyle{ i}\) i promieniu 2.
Łącząc te dwa warunki dostaniemy
[/url]
Liczbę zespoloną przedstawiamy w postaci trygonometrycznej
\(\displaystyle{ z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)}\)
Wtedy ze wzoru de Moivre'a mamy
\(\displaystyle{ z^3=|z|^3(\cos3\varphi+i\sin3\varphi)}\)
no i
\(\displaystyle{ Re(z^3)=Re(|z|^3(\cos3\varphi+i\sin3\varphi))=|z|^3\cos3\varphi}\)
Mamy zatem warunek
\(\displaystyle{ |z|^3\cos3\varphi\le0}\)
a ponieważ \(\displaystyle{ |z|\ge0}\) to daje nam, że \(\displaystyle{ \cos3\varphi\le0}\).
Mamy stąd, że
\(\displaystyle{ 3\varphi\in\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right]}\)
\(\displaystyle{ \varphi\in\left[\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3},\frac{3\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}\right]}\)
Oczywiście argument \(\displaystyle{ \varphi}\) musi należeć do przedziału \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\), a zatem
\(\displaystyle{ \varphi\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{3\pi}{6}\right]\cup
\left[\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{9\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right]}\)
Ten zbiór na płaszczyźnie zespolonej wygląda tak:
- AU
- 07627607592184175754_thumb.jpg (5.52 KiB) Przejrzano 48 razy
Drugi warunek
\(\displaystyle{ |iz+1|<2}\)
\(\displaystyle{ \left|\frac{-z+i}{i}\right|<2}\)
\(\displaystyle{ |i-z|<2}\)
Oznacza to, że odległość pomiędzy liczbą \(\displaystyle{ z}\) a liczbą \(\displaystyle{ i}\) ma być mniejsza od dwóch, czyli chodzi o wnętrze koła o środku w \(\displaystyle{ i}\) i promieniu 2.
Łącząc te dwa warunki dostaniemy
- AU
- 32526859697566059149_thumb.jpg (5.52 KiB) Przejrzano 48 razy