Witam, proszę o wytłumaczenie jak to narysować. Wiem jak się rysuje gdy mamy: \(\displaystyle{ arg(z)}\), ale \(\displaystyle{ arg(z-1)}\), \(\displaystyle{ arg(iz)}\) itd. już nie.
Polecenie brzmi: Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spełniających podane warunki:
\(\displaystyle{ a) \ \frac{\pi}{6}<arg(z-i) \le \frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ b) \ \frac{\pi}{2}<arg(iz)< \pi}\)
\(\displaystyle{ c) \ arg(-z)= \frac{ \pi }{4}}\)
\(\displaystyle{ d) \ \frac{3 \pi }{4} \le arg( \frac{1}{z}) \le \frac{3 \pi }{2}}\)
Narysować na płaszczyźnie zespolonej - arg(z-i) itp.
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Narysować na płaszczyźnie zespolonej - arg(z-i) itp.
Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Dla przykładu podpunkt a).
Skoro
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}<arg(z-i) \le \frac{\pi}{3}}\)
to mamy:
\(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{6}<\sin(arg(z-i))\le\sin\frac{\pi}{3}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{6}>\cos(arg(z-i))\ge\cos\frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac12<\sin(arg(z-i))\le\frac{\sqrt{3}}{2}\wedge
\frac{\sqrt{3}}{2}>\cos(arg(z-i))\ge\frac12}\)
Obliczmy teraz
\(\displaystyle{ |z-i|=|x+(y-1)i|=\sqrt{x^2+(y-1)^2}}\)
\(\displaystyle{ \cos(arg(z-i))=\frac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}}\)
\(\displaystyle{ \sin(arg(z-i))=\frac{y-1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}}\)
Stąd dostajemy układ dwóch nierówności
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
\frac12<\frac{y-1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\frac12<\frac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.}\)
Obie mnożę przez dwa i podnoszę do kwadratu
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
1<\frac{4(y-1)^2}{x^2+(y-1)^2}\le3\\
1<\frac{4x^2}{x^2+(y-1)^2}\le3\end{array}\right.}\)
Mnożę przez te mianowniki
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
x^2+(y-1)^2<4(y-1)^2}\le3(x^2+(y-1)^2)\\
x^2+(y-1)^2<4x^2\le3(x^2+(y-1)^2)\end{array}\right.}\)
Wykonuję działania, porządkuję, rozpisuję na cztery nierówności
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
x^2<3(y-1)^2\\
(y-1)^2\le3x^2\\
(y-1)^2<3x^2\\
x^2\le3(y-1)^2\end{array}\right.}\)
Te cztery sprowadzają się do dwóch
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
x^2<3(y-1)^2\\
(y-1)^2<3x^2\end{array}\right.}\)
Teraz trzeba jeszcze narysować te nierówności, trochę męczące to jest, ale wychodzi coś takiego
[/url]
Z tego co pamiętam, to można chyba jakoś szybciej, ale mi takie coś wpadło do głowy.
Skoro
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}<arg(z-i) \le \frac{\pi}{3}}\)
to mamy:
\(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{6}<\sin(arg(z-i))\le\sin\frac{\pi}{3}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{6}>\cos(arg(z-i))\ge\cos\frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac12<\sin(arg(z-i))\le\frac{\sqrt{3}}{2}\wedge
\frac{\sqrt{3}}{2}>\cos(arg(z-i))\ge\frac12}\)
Obliczmy teraz
\(\displaystyle{ |z-i|=|x+(y-1)i|=\sqrt{x^2+(y-1)^2}}\)
\(\displaystyle{ \cos(arg(z-i))=\frac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}}\)
\(\displaystyle{ \sin(arg(z-i))=\frac{y-1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}}\)
Stąd dostajemy układ dwóch nierówności
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
\frac12<\frac{y-1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\frac12<\frac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.}\)
Obie mnożę przez dwa i podnoszę do kwadratu
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
1<\frac{4(y-1)^2}{x^2+(y-1)^2}\le3\\
1<\frac{4x^2}{x^2+(y-1)^2}\le3\end{array}\right.}\)
Mnożę przez te mianowniki
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
x^2+(y-1)^2<4(y-1)^2}\le3(x^2+(y-1)^2)\\
x^2+(y-1)^2<4x^2\le3(x^2+(y-1)^2)\end{array}\right.}\)
Wykonuję działania, porządkuję, rozpisuję na cztery nierówności
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
x^2<3(y-1)^2\\
(y-1)^2\le3x^2\\
(y-1)^2<3x^2\\
x^2\le3(y-1)^2\end{array}\right.}\)
Te cztery sprowadzają się do dwóch
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
x^2<3(y-1)^2\\
(y-1)^2<3x^2\end{array}\right.}\)
Teraz trzeba jeszcze narysować te nierówności, trochę męczące to jest, ale wychodzi coś takiego
- AU
- 67087162065890901065_thumb.jpg (5.52 KiB) Przejrzano 657 razy
Z tego co pamiętam, to można chyba jakoś szybciej, ale mi takie coś wpadło do głowy.