Znaleźć funkcję holomorficzną

[czyzyk8520]

Witam. Mam problem ze znalezieniem funkcji holomorficznej. Liczę to tak:
\(\displaystyle{ u(x,y)=e ^{x}\cos y+y\\
u _{x} =e ^{x} \cos y\\
u _{y}= -e ^{x}\sin y + 1\\
u _{x} =v _{y} \\
u _{y} =-v _{x} }\)

Liczac \(\displaystyle{ \int u_x dy}\) wychodzi mi funkcja:

\(\displaystyle{ e^x \sin y + \varphi(x)}\)

Zaś licząc \(\displaystyle{ -\int u_y dx}\) wychodzi mi inna funkcja:

\(\displaystyle{ e^{x}\sin y-x + \varphi(y)}\)

I teraz pytanie, która z tych funkcji jest moją funkcją urojoną ?? Co z tym dalej zrobić ?? Czy ten \(\displaystyle{ x}\) uznać jako reszta \(\displaystyle{ C}\) z całkowania ?

[Dasio11]

To zależy, w jakim celu liczyłeś te całki.

[mechatronik300]

Po pierwsze to policz to według wzoru Cauchy'ego (\(\displaystyle{ \frac{dU}{dx}= \frac{dV}{dy}}\) ; \(\displaystyle{ \frac{dU}{dy}=\frac{-dV}{dx}}\)) bo tu chyba od razu wziąłeś się za całkowanie. Jeśli wychodzi że \(\displaystyle{ \frac{dU}{dx} \neq \frac{dV}{dy}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{dU}{dy} \neq \frac{-dV}{dx}}\) to możesz jedynie wyznaczyć \(\displaystyle{ ( x_{0},y _{0})}\) dla którego funkcja jest holomorficzna. Twoja funkcja V to jest ta która została scałkowana po x a drugą stałą wyznaczasz z warunku początkowego danego w zadaniu.