Problem z i^i

[ultramathguitar]

Znajoma z biomedycyny poprosiła mnie o policzenie i do potęgi i-tej. Uporałem się z tym w taki sposób:

\(\displaystyle{ i^{i} = (\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})^{i}= {(e^{i\frac{\pi}{2}})}^{i} = e^{-\frac{\pi}{2}}}\)

Skorzystałem z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej oraz z mnożenia wykładników. Wszystko cacy. Jednak przecież mamy również:

\(\displaystyle{ i^{i} = (\cos \frac{5\pi}{2} + i \sin \frac{5\pi}{2})^{i}= {(e^{i\frac{5\pi}{2}})}^{i} = e^{-\frac{5\pi}{2}}}\)

Wynika to oczywiście z okresowości sinusa i cosinusa. Otrzymujemy dwa różne wyniki. Ba, możemy w ten sposób otrzymać nieskończenie wiele różnych wyników. Gdzie tkwi błąd w tym rozumowaniu?

PS Gdy wklepałem do "wolframa" wyrażenie \(\displaystyle{ ({e^{i\frac{5\pi}{2}})^{i}}\), otrzymałem następujący wynik: \(\displaystyle{ e^{-\frac{\pi}{2}}}\)

To już kompletnie zbiło mnie z tropu. Wszystko wskazuje na to, że nie możemy po prostu wymnożyć "i" w wykładniku, zachodzi jakieś dodatkowe "czary mary". Czy mogę prosić o wyjaśnienia?

[mlody3k]

Argument liczby zespolonej musi spełniać \(\displaystyle{ 0\leq\varphi\leq 2\pi}\) i tyle w temacie

[ultramathguitar]

To jest argument główny, jednak każda liczba zespolona posiada nieskończenie wiele argumentów. Między innymi dlatego (z tego co doczytałem), logarytm z liczby zespolonej nie jest jednoznaczny (choć istnieje tak zwany logarytm główny, oparty na argumencie głównym). W takim razie jak to w końcu jest - umownie przy obliczaniu i^i jesteśmy zmuszeni oprzeć się na argumencie głównym, czy też możemy wziąć argument i istnieje nieskończenie wiele rozwiązań?

[Czternastkowicz]

Moim zdaniem wystarczy ograniczyć się do argumentu głównego.
W postaci trygonometrycznej zwykło się eliminować powielające się okresy \(\displaystyle{ \varphi}\), co eliminuje problem.

[Dasio11]

A wzór \(\displaystyle{ \left( a^u \right)^w = a^{uw}}\) w zespolonych nie jest prawdziwy nawet, gdy \(\displaystyle{ w \in \RR.}\)