Rozwiąż równanie zespolone

[PiTek93]

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego równania:
\(\displaystyle{ (iz+1)^{4} = (z+i)^{4}}\)

[brzoskwinka1]

Jeżeli \(\displaystyle{ \varepsilon_0 ,\varepsilon_1 , \varepsilon_2 ,\varepsilon_3}\) są czterema różnymi pierwiastkami z jedynki , to otrzymujesz cztery równania \(\displaystyle{ iz +1 =\varepsilon_m (z+i ) , \text{ } m=0,1,2,3}\) których alternatywa jest równoważna równaniu wyjściowemu

[PiTek93]

Obawiam się, że niezbyt rozumiem. Mógłbyś to inaczej wytłumaczyć?

[Dasio11]

\(\displaystyle{ (iz+1)^{4} = (z+i)^{4} \iff \left( \frac{iz+1}{z+i} \right)^{4} = 1.}\)

Równanie

\(\displaystyle{ \varepsilon^4 = 1}\)

ma dokładnie cztery rozwiązania

\(\displaystyle{ \varepsilon_0, \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3,}\)

zatem

\(\displaystyle{ \left( \frac{iz+1}{z+i} \right)^{4} = 1 \iff \frac{iz+1}{z+i}=\varepsilon_0 \vee \frac{iz+1}{z+i}=\varepsilon_1 \vee \frac{iz+1}{z+i}=\varepsilon_2 \vee \frac{iz+1}{z+i}=\varepsilon_3,}\)

czyli

\(\displaystyle{ iz+1 = \varepsilon_m (z+i)}\)

dla pewnego \(\displaystyle{ m \in \{0, 1, 2, 3 \}.}\)