Obliczenie wartości danej liczby

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
tbfa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 11 gru 2007, o 16:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Okolice Poznania
Podziękował: 27 razy

Obliczenie wartości danej liczby

Post autor: tbfa »

Obliczyć wartość \(\displaystyle{ \sin g}\) gdzie \(\displaystyle{ g = \frac{\pi}{2} +i\ln 3}\). Wynik podać w postaci \(\displaystyle{ a + bi}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to liczby rzeczywiste.
Ostatnio zmieniony 29 sty 2013, o 20:41 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
MnemoNoNemo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 29 sty 2013, o 20:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Słupsk
Pomógł: 1 raz

Obliczenie wartości danej liczby

Post autor: MnemoNoNemo »

\(\displaystyle{ \sin (\frac{\pi}{2} + x) = \cos (x) \\
\cos (i x) = \cosh (x) \\
\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \\
\sin (\frac{\pi}{2} + i\ln 3) = \cos (i\ln 3) = \cosh (\ln 3) = \frac{e^{\ln 3} + e^{-\ln 3}}{2} = \frac{3 + \frac{1}{3}}{2} = \frac{5}{3} \\
\begin{cases} a = \frac{5}{3} \\ b = 0 \end{cases}}\)
Ostatnio zmieniony 29 sty 2013, o 20:53 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Obliczenie wartości danej liczby

Post autor: lukasz1804 »

Mamy \(\displaystyle{ ig=-\ln 3+i\frac{\pi}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ -ig=\ln 3-i\frac{\pi}{2}}\). Stąd i z określenia funkcji wykładniczej dostajemy \(\displaystyle{ \exp ig=ie^{-\ln 3}=\frac{1}{3}i, \exp(-ig)=-ie^{\ln 3}=-3i}\). Zatem
\(\displaystyle{ \sin g=\frac{\exp ig-\exp(-ig)}{2i}=\frac{\frac{1}{3}+3}{2}=\frac{5}{3}=\frac{5}{3}+i\cdot 0}\).
ODPOWIEDZ