Część urojona liczby

[Kaef]

Czy aby znaleźć część urojoną liczby:

\(\displaystyle{ z = \frac{\left( a+bi\right) ^2 + i^{1599}}{\left( b-2ai\right) \left( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right) ^{171}}}\)

należy to \(\displaystyle{ z}\) rozpisać jako \(\displaystyle{ a+bi}\), czy robi się to bez tego?

Gdy robię to bez rozpisywania wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ z = \frac{\left( a+bi\right)^2 - i }{\left( b-2ai\right)i}}\) i nie wiem, co dalej.
A gdy rozpiszę \(\displaystyle{ z}\) i wszystko zepchnę na lewą stronę to mam \(\displaystyle{ -a^2+i\left( -1-ab\right) =0}\) i widzę, że część urojona to \(\displaystyle{ -1-ab}\). Nie wiem tylko, czy mogę to wywnioskować, gdy po prawej stronie mam 0 i w związku z tym proszę o sprawdzenie rozumowania.

[Czternastkowicz]

Myślę, że w tym przypadku należy skorzystać z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej \(\displaystyle{ z= \sqrt {z^{2}} \cdot ( \cos x + i \cdot \sin x)}\)

[Kaef]

Tyle wiem. Poza tym jeśli już to \(\displaystyle{ \left| z\right|}\), co się równa \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2}}\), a to na pewno nie to samo, co \(\displaystyle{ \sqrt{z^2}}\), bo \(\displaystyle{ z = a +bi}\), a \(\displaystyle{ a^2+b^2 \neq \left( a+bi\right) ^2}\).

[bb314]

Czy aby znaleźć część urojoną liczby:
należy to \(\displaystyle{ z}\) rozpisać jako \(\displaystyle{ a+bi}\)

Czegoś takiego NIE MOŻNA zrobić, bo \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są parametrami w tym równaniu
jeśli chciałabyś inaczej zapisać \(\displaystyle{ z}\) to np. tak \(\displaystyle{ z=c+di}\) i z równania należy wyliczyć \(\displaystyle{ d}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)

\(\displaystyle{ \blue z = \frac{\left( a+bi\right) ^2 + i^{1599}}{\left( b-2ai\right) \left( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right) ^{171}}}\)

\(\displaystyle{ i^{1599}=-i}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right) ^{171}=\left( e^{\frac16\pi i\right)^{171}=e^{i\pi\cdot\frac{171}{6}}=e^{i\pi\cdot\left( 28+\frac12\right)}=e^{28i\pi}\cdot e^{\frac12 i \pi}=1\cdot i=i}\)

\(\displaystyle{ z = \frac{\left( a+bi\right) ^2 -i}{\left( b-2ai\right) \cdot i}=\frac{a^2+2abi+(bi)^2-i}{bi-2ai^2}=\frac{a^2+2abi-b^2-i}{bi+2a}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{\left(a^2-b^2+(2ab-1)i\right)(bi-2a)}{(bi+2a)(bi-2a)}=\frac{\left(a^2-b^2+(2ab-1)i\right)(bi-2a)}{-b^2-4a^2}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{I}(z)=\frac{b(a^2-b^2)-2a(2ab-1)}{-b^2-4a^2} \ \ \green \Rightarrow \black\ \ \ \blue \mathbb{I}(z)=\frac{b^3+3a^2b-2a}{4a^2+b^2}}\)

mam nadzieję, że nie omskło mi sie cuś podczas liczenia