Pierwistki liczby zspolonej

[sigma1810]

Mam następujące równanie, i nie mam pomysłu na jego rozwiązanie

\(\displaystyle{ z^3= \frac{-24+16i}{2-3i}}\)
Będę wdzięczna za wszelkie wskazówki

[rafalpw]

Zapisz liczbę po prawej stronie w postaci trygonometrycznej.

[yorgin]

Pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.

[chris_f]

\(\displaystyle{ \frac{-24+16i}{2-3i}=\frac{-24+16i}{2-3i}\cdot\frac{2+3i}{2+3i}=
\frac{-48+32i-72i+48}{4+9}=\frac{-40i}{13}}\)
no i zadnie sprowadza się do rozwiązania równania
\(\displaystyle{ z^3=-\frac{40}{13}i}\)
\(\displaystyle{ z=\sqrt[3]{-\frac{40}{13}}\cdot\sqrt[3]{i}}\)
Ponieważ otrzymasz trzy pierwiastki \(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}}\) otrzymasz też trzy rozwiązania tego równania.
Obliczenie tych pierwiastków jest banalne, korzystasz po prostu ze wzoru.

[yorgin]

Poprawka

\(\displaystyle{ \frac{-24+16i}{2-3i}=\frac{-24+16i}{2-3i}\cdot\frac{2+3i}{2+3i}=
\frac{-48+32i-72i\red-\black48}{4+9}=\frac{\red -96\black-40i}{13}}\)

[sigma1810]

oj! no właśnie , do tego momentu doszłam, i nie wiem co dalej, chodzi o to żeby rozwiązać to dokładnie, bez konieczności odczytywania argumentu głównego tej liczby zespolonej z tablic (bo wiadomo-gubię dokładność)

[rafalpw]

Przecież będziesz mogła dokładnie wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych, bo wyciągasz pierwiastek trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ i}\) a \(\displaystyle{ i=\cos\left( \frac{\pi}{2} \right)+i\sin\left( \frac{\pi}{2} \right)}\)

[sigma1810]

rachujesz nie z tej liczby

[rafalpw]

Rzeczywiście. Zasugerowałem się złym postem.-- 29 sty 2013, o 15:14 --Jeżeli nie wychodzą takie kąty, dla których znamy wartości funkcji trygonometrycznych to trzeba zostawić w takiej postaci albo przybliżać.