potegi liczby i

[Demicean]

hejka, mam problem z \(\displaystyle{ i^{i}}\) nie wiem jak to obliczyc

[pyzol]

Zamień \(\displaystyle{ i}\) na postać wykładniczą.

[lukasz1804]

Wyznaczmy najpierw wszystkie elementy zbioru \(\displaystyle{ \log i}\). Mamy \(\displaystyle{ \mbox{Log}\ i=\ln|i|+i\mbox{Arg}\ i=i\frac{\pi}{2}}\). Zatem \(\displaystyle{ \log i= \left\{ i\frac{\pi}{2}+2k\pi i:k\in\ZZ \right\}}\).

Dla dowolnego \(\displaystyle{ w\in\log i}\) mamy \(\displaystyle{ \exp iw=\exp\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}\). Zatem

\(\displaystyle{ i^i=\left\{\exp\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right):k\in\ZZ\right\}}\).

[pyzol]

Moim zdaniem jest tylko jeden wynik:
\(\displaystyle{ i=\left( e^{i\frac{\pi}{2}}\right) ^i=e^{-\frac{\pi}{2}}}\)

[Demicean]

dzieki sliczne sam doszedlem do tego \(\displaystyle{ \log i = \ln |i| + i \, \mathrm{Arg} \, i,}\) a pozniej w siebie zwatpilem xd widac niepotrzebnie

[yorgin]

Moim zdaniem jest tylko jeden wynik:
\(\displaystyle{ i=\left( e^{i\frac{\pi}{2}}\right) ^i=e^{-\frac{\pi}{2}}}\)

Nie tylko.

\(\displaystyle{ e^{i\frac{\pi}{2}+2ik\pi}=i, k\in\mathbb{Z}}\)

a stąd już prosta droga do końcowego wyniku.

[pyzol]

A faktycznie, przecież możemy się w kółko kręcić.