Korzystając ze wzoru de Moivre'a obliczyć

[dawid91]

Witam, jak to rozwiazać?

Korzystając ze wzoru de Moivre'a obliczyć
\(\displaystyle{ \left( - \sqrt[5]{2}-i \sqrt[5]{2} \right) ^{10}}\)
\(\displaystyle{ =\left( -2 ^{ \frac{1}{5} }-i2 ^{ \frac{1}{5} } \right) ^{10}}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{-2 ^{ \frac{2}{5} }-2 ^{ \frac{2}{5} } }=}\)

?

[yorgin]

na początek:

\(\displaystyle{ \left( - \sqrt[5]{2}-i \sqrt[5]{2} \right) ^{10}=\left( \sqrt[5]{2}+i \sqrt[5]{2} \right) ^{10}}\)


Poza tym, źle liczysz moduł. Ile to jest \(\displaystyle{ \left((-2)^{\frac{1}{5}}\right)^2}\) ?

[dawid91]

na początek:

\(\displaystyle{ \left( - \sqrt[5]{2}-i \sqrt[5]{2} \right) ^{10}=\left( \sqrt[5]{2}+i \sqrt[5]{2} \right) ^{10}}\)

Można tak sobie zamienić, bo jest do parzystej potęgi?

Poza tym, źle liczysz moduł. Ile to jest \(\displaystyle{ \left((-2)^{\frac{1}{5}}\right)^2}\) ?

\(\displaystyle{ \frac{1}{5} \cdot 2= \frac{2}{5}}\)
\(\displaystyle{ 2^{ \frac{2}{5} }}\) ?

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{2 ^{ \frac{2}{5} }+2 ^{ \frac{2}{5} } }}\)

[yorgin]

Można zamieniać. Dlatego, że możesz zawsze wyłączyć \(\displaystyle{ (-1)^{10}=1}\) przed całą liczbę.

Poza tym moduł można uprościć:

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{2 ^{ \frac{2}{5} }+2 ^{ \frac{2}{5} } }=\sqrt{2\cdot 2^{\frac{2}{5}}}=\sqrt{2^\frac{7}{5}}=2^{\frac{7}{10}}}\)

[dawid91]

\(\displaystyle{ \cos \phi= \frac{-2 ^{ \frac{1}{5} } }{2 ^{ \frac{7}{10} } }=-2 ^{- \frac{1}{2} }=- \frac{1}{ \sqrt{2} } \cdot \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} }= -\frac{ \sqrt{2} }{2} \\
\sin \phi=- \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Ok, dalej już sobie poradzę. Dzięki za pomoc