\(\displaystyle{ Z={z \in C; Re(z^4) > 0}}\)
no to tak:
\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
\(\displaystyle{ z^4=(x+iy)^4=x^4+4iy*x^3+6(i^2)*(y^2)*(x^2)+4(i^3)(y^3)*x+(i^4)*y^4}\)
\(\displaystyle{ Re(z^4)=x^4-6(y^2)(x^2)+y^4}\)
\(\displaystyle{ x^4-6(y^2)(x^2)+y^4 > 0}\)
\(\displaystyle{ x^4-2(xy)^2+y^4 - 4(xy)^2 > 0}\)
\(\displaystyle{ (x^2 - y^2)^2-(2xy)^2 > 0}\)
\(\displaystyle{ (x^2-2xy-y^2)(x^2+2xy-y^2) > 0}\)
no i teraz jak wiadomo, albo oba czynniki muszą być dodatnie, albo oba ujemne.
ale utknąłem, nie za bardzo wiem co dalej.
Próbowałem tak:
Przypadek I
\(\displaystyle{ (x^2-2xy-y^2) > 0}\)
\(\displaystyle{ y^2+2xy>x^2}\)
\(\displaystyle{ y^2+2xy+x^2>2x^2}\)
\(\displaystyle{ (y+x)^2>2x^2}\)
\(\displaystyle{ |y+x|>|x|*sqrt(2)}\)
\(\displaystyle{ |(y+x)/x|>sqrt(2)}\)
teraz sprawdzam co jest dla x=0
i dalej prosta nierownosc, analogicznie drugi czynnik
\(\displaystyle{ |(y-x)/x|>sqrt(2)}\)
no i analogicznie drugi przypadek.
ale coś mi to bardzo brzydko wygląda, a błędu nie mogę znależć.-- 28 sty 2013, o 15:34 --dobra, stwierdzam, że zdanie jest trywialne, jeśli zamieni się na postać trygonometryczną i skorzysta ze wzoru de moivre.
podzielic nierownosc przez modul do czwartej (bo |z|=0 nie spelnia nierownosci) i zostaje bodajze cos4fi>0 + 2kpi