Zaznaczyć na płaszczyźnie gaussa

[Marus42]

Mam takie rówanie do policzenia:

\(\displaystyle{ z ^{4} = \left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) ^{3}}\)

po policzeniu tego po prawej stronie wyszło mi \(\displaystyle{ -1}\)

i tutaj już nie wiem czy dobrze myślę

czyli:

\(\displaystyle{ z ^{4} =-1}\)

\(\displaystyle{ z = \sqrt[4]{i ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ z = \sqrt[]{i}}\)

tak? i jak to zaznaczyc ?

z góry dziękuję za pomoc

[chris_f]

Użyj wzoru na pierwiastki z liczby zespolonej.
\(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{-1}}\)
daje cztery pierwiastki (czyli cztery punkty na płaszczyźnie). Tak na marginesie będą one wierzchołkami kwadratu.

[Marus42]

wyszło mi:
\(\displaystyle{ z _{0}=i}\)
\(\displaystyle{ z _{1}=1}\)
\(\displaystyle{ z _{2}=-i}\)
\(\displaystyle{ z _{3}=1}\)

i teraz trzeba zaznaczyc jakby po jednej jednostce na kazdej osi i połączyć tak? to faktycznie powstanie taki odwrocony kwadrat

dziękuję za pomoc;)

[chris_f]

Źle!!!!
Policz jeszcze raz te pierwiastki.
Przecież to od razu widać, że np. \(\displaystyle{ 1}\) nie będzie takim pierwiastkiem - od kiedy to \(\displaystyle{ 1^4=-1}\)?

[Marus42]

tam \(\displaystyle{ z _{1}=-1}\) tak miało być ale \(\displaystyle{ z _{3}=1}\) skoro nie może być to nie wiem co jest nie tak ? reszta jest ok czy wszystkie rozwiązania są źle?

[chris_f]

Obliczenie tych pierwiastków masz błędne.
Mamy postać trygonometryczną \(\displaystyle{ i=1\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)}\), bo oczywiście moduł \(\displaystyle{ |i|=1}\) i argument \(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{2}}\)
Stosujemy wzór na pierwiastki z liczby zespolonej, i dla pierwiastka czwartego stopnia dostaniemy:
\(\displaystyle{ \omega_0=\sqrt[4]{1}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2}+0\cdot2\pi}{4}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+0\cdot2\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}}\)
\(\displaystyle{ \omega_1=\sqrt[4]{1}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2}+1\cdot2\pi}{4}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+1\cdot2\pi}{4}\right)=\cos\frac{5\pi}{8}+i\sin\frac{5\pi}{8}}\)
\(\displaystyle{ \omega_2=\sqrt[4]{1}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2}+2\cdot2\pi}{4}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+2\cdot2\pi}{4}\right)=\cos\frac{9\pi}{8}+i\sin\frac{9\pi}{8}}\)
\(\displaystyle{ \omega_3=\sqrt[4]{1}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2}+3\cdot2\pi}{4}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+3\cdot2\pi}{4}\right)=\cos\frac{13\pi}{8}+i\sin\frac{13\pi}{8}}\)
Dokładne wartości tych sinusów i cosinusów możesz obliczyć wykorzystując wzory na sinus i cosinus kata połówkowego
\(\displaystyle{ \left|\sin\frac{1}{2}x\right|=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}\quad\quad\quad
\left|\cos\frac{1}{2}x\right|=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}}\)
Dla przykładu
\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{8}=\cos\frac{\frac{\pi}{4}}{2}=
\sqrt{\frac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}\)
Z sinusem i pozostałymi kątami robisz podobnie. Wartość bezwzględną w tych wzorach opuszczasz dobierając znak w zależności od tego, w której ćwiartce leży dany kąt.

[Marus42]

ok dziękuję za pomoc, mam nadzieję, że to już ostatnie pytanei z mojej strony widzę, że miałem źle kąt policzony, mój tok rozumowania, gdzie jest błąd?

dlaczego \(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{2}}\)

skoro \(\displaystyle{ \cos = \frac{-1}{1} =-1}\)
\(\displaystyle{ \sin = \frac{0}{1} =0}\)

czyli w IIćw, czy kąt \(\displaystyle{ \varphi=\pi- \alpha _{0}}\)

\(\displaystyle{ \alpha _{0}=0 ??}\)

ok tu widze poprawilem bo miałem kąt \(\displaystyle{ 2\pi}\) zamiast \(\displaystyle{ \pi}\) we wczesniejszych obliczeniach takz ejuz wychodzą inne wyniki

[chris_f]

Tak, oczywiście masz rację, zauważ, że napisałem dla \(\displaystyle{ z=i}\) (nie wiem czemu, chyba z powodu pory) i policzyłem \(\displaystyle{ \sqrt[4]{i}}\).
Dla \(\displaystyle{ z=-1}\) będzie oczywiście \(\displaystyle{ \varphi=\pi}\) co nawet uprości te wzory - nie trzeba będzie ze wzorów połówkowych skorzystać.

[Marus42]

ok to juz wszystko rozumiem

bardzo dziękuję za pomoc !