nierówność z argumentami

[Demooon]

\(\displaystyle{ Arg(-3i) < Argz < Arg(-3)}\)

\(\displaystyle{ Arg(-3i) = \frac{3 \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ Arg(-3) = \pi}\)

W związku z tym :

\(\displaystyle{ \frac{3 \pi }{2} < Arg(z) < \pi}\)
\(\displaystyle{ Arg(z) < \pi}\)
\(\displaystyle{ Arg(z) > \frac{3 \pi }{2}}\)

Jak narysować to na płaszczyźnie ?

[bb314]

Obrazem rozwiązań \(\displaystyle{ z=x+yi}\) jest cała III ćwiartka układu współrzędnych XY, bez osi 0X i 0Y

[Demooon]

Czy mógłbyś wyjaśnić dlaczego?


\(\displaystyle{ \frac{y}{x} > \tg \frac{3 \pi }{2}}\) tangens nie jest określony
\(\displaystyle{ \frac{y}{x} < \tg \pi}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow y<0}\)

w którym miejscu jest błąd?

[bb314]

Czy mógłbyś .... ?

Nie mógłbym.


Ale mogłabym.

Każdy punkt w III ćwiartce reprezentuje liczbę zespoloną, której części rzeczywista i urojona są ujemne. Niezależnie od położenia tego punktu, kąt jaki tworzy półprosta ze środka układu współrzędnych przechodząca przez ten punkt z dodatnią częścią osi 0X zawiera się w granicach \(\displaystyle{ \left( \pi,\ \frac32\pi\right)}\). Ten kąt to argument liczby zespolonej reprezentowanej przez dany punkt.

[Demooon]

Tak, przepraszam, nie spojrzałem na znaczek.

to o czym mówisz nie jest przypadkiem opisane nierównościami odwrotnymi ?
\(\displaystyle{ \alpha > \pi}\)
\(\displaystyle{ \alpha < \frac{3 \pi }{2}}\) ?

[bb314]

Masz rację. Nie przyjrzałam się zbyt dokładnie kierunkowi nierówności w pierwszym poście.
Oczywiście \(\displaystyle{ \frac32\pi< arg(z)\ \ \wedge \ \ arg(z)<\pi}\) to dokładnie przeciwny obraz, czyli ćwiartki I, II i IV bez ujemnych części osi 0X i 0Y.

te nierówności specjalnie napisałam oddzielnie, gdyż pisząc łącznie wyszłaby sprzeczność, że \(\displaystyle{ \frac32\pi<\pi}\)

\(\displaystyle{ arg(z)<\pi\ \ \color{green}\Rightarrow\color{black}\ \ \varphi\in\langle0,\ \pi)}\)

\(\displaystyle{ arg(z)>\frac32\pi\ \ \color{green}\Rightarrow\color{black}\ \ \varphi\in\left( \frac32\pi,\ 2\pi\right)}\)

[Demooon]

a weźmy pod uwagę kąt na przykład: \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) leżący w I ćwiartce

jest on mniejszy od \(\displaystyle{ \pi}\) ale nie jest większy od \(\displaystyle{ \frac{3 \pi }{2}}\)