Mam obliczyć równanie:
\(\displaystyle{ i ^{z} =3}\)
gdzie \(\displaystyle{ z \in \mathbb{C}}\)
Zaczynam w ten sposób, że:
\(\displaystyle{ e ^{z \ln i}}\)
liczę
\(\displaystyle{ \ln i = \ln e^{i( \frac{ \pi }{2} +2k \pi) }= i( \frac{ \pi }{2}+2k \pi)}\)
\(\displaystyle{ e ^{zi(\frac{ \pi }{2}+2k \pi)}=3}\)
\(\displaystyle{ zi(\frac{ \pi }{2}+2k \pi)= \ln 3}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{ \ln 3}{i(\frac{ \pi }{2}+2k \pi)}}\)
I tu mam pytanie, czy to jest dobrze?
Oblicz równanie
-
Marcepan99
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 7 paź 2012, o 23:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 5 razy
-
piotr5
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 1 lip 2012, o 20:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 7 razy
Oblicz równanie
Weźmy
\(\displaystyle{ a = -y\left(\frac{ \pi }{2}+2k \pi\right)}\)
\(\displaystyle{ b = x\left( \frac{ \pi }{2}+2k \pi\right)}\)
Wtedy \(\displaystyle{ e^{a+bi} = e^a\left(\cos b + i \sin b \right) = 3}\)
Zatem \(\displaystyle{ e^a = 3}\) i \(\displaystyle{ b = 2n\pi}\). -- 25 sty 2013, o 22:37 --W Twoim rozwiązaniu, które przed chwilą dodałeś jest luka: w zbiorze liczb zespolonych \(\displaystyle{ \ln 3}\) ma nieskończenie wiele wartości (jeśli przez \(\displaystyle{ c}\) oznaczymy \(\displaystyle{ \ln 3}\) w zbiore liczb rzeczywistych, to w zbiorze liczb zespolonych \(\displaystyle{ \ln 3 = c + 2k\pi}\)).
\(\displaystyle{ a = -y\left(\frac{ \pi }{2}+2k \pi\right)}\)
\(\displaystyle{ b = x\left( \frac{ \pi }{2}+2k \pi\right)}\)
Wtedy \(\displaystyle{ e^{a+bi} = e^a\left(\cos b + i \sin b \right) = 3}\)
Zatem \(\displaystyle{ e^a = 3}\) i \(\displaystyle{ b = 2n\pi}\). -- 25 sty 2013, o 22:37 --W Twoim rozwiązaniu, które przed chwilą dodałeś jest luka: w zbiorze liczb zespolonych \(\displaystyle{ \ln 3}\) ma nieskończenie wiele wartości (jeśli przez \(\displaystyle{ c}\) oznaczymy \(\displaystyle{ \ln 3}\) w zbiore liczb rzeczywistych, to w zbiorze liczb zespolonych \(\displaystyle{ \ln 3 = c + 2k\pi}\)).