Rozwiazanie wyrazenie

don_keywon · Post autor: **don_keywon** » 20 sty 2013, o 23:01

Witam,

Jak rozwiązać to wyrażenie (wiem że przy użyciu trygonometrii, ale przy podwójnym pierwiastkowaniu nie wiem jak za to się zabrać)

\(\displaystyle{ z^{3} = \left( i+4 \right) ^{4}}\)

z góry dzięki za pomoc

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 21 sty 2013, o 00:05

Rozpisz prawą stronę równania jako liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej.

don_keywon · Post autor: **don_keywon** » 21 sty 2013, o 00:23

Tak robię, ale jak mi wychodzi moduł pierwiastek z 17 to nic dalej zrobić nie mogę..

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 21 sty 2013, o 00:26

Jak wychodzi pierwiastek z 17? Pokaż jak liczysz.

don_keywon · Post autor: **don_keywon** » 21 sty 2013, o 00:43

tzn pierwiastek z 15..

\(\displaystyle{ z= \sqrt{} (i)^2+(4)^2= \sqrt{} -1+16= \sqrt{} 15}\)

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 21 sty 2013, o 00:48

Nie tak się liczy moduł z liczby zespolonej. \(\displaystyle{ \left| i+4\right|= \sqrt{17}}\) , ale chodziło mi całą liczbę po prawej stronie, a nie tylko to, co jest w nawiasie.

don_keywon · Post autor: **don_keywon** » 21 sty 2013, o 00:51

No to za pierwszym razem dobrze podałem, ale gdy wychodzi mi \(\displaystyle{ \sqrt{17}}\) to i tak nic dalej zrobić nie mogę. Zapisałem w 1 poście całą treść zadania i nie ogarniam tego.

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 21 sty 2013, o 00:56

rafalpw pisze:chodziło mi całą liczbę po prawej stronie, a nie tylko to, co jest w nawiasie.

don_keywon · Post autor: **don_keywon** » 21 sty 2013, o 01:07

Nie rozumiem o co Ci chodzi. Jaką liczbę po prawej stronie?

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 21 sty 2013, o 01:08

\(\displaystyle{ \left( i+4\right)^4}\)

don_keywon · Post autor: **don_keywon** » 21 sty 2013, o 01:12

Ja to robię tak jak w etrapezie tłumaczył.

\(\displaystyle{ z^3=(i+4)^4}\)
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{(1)^2+(4)^2} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17}}\)
później układ równań na postać trygonometryczną:
cosϕ= \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{17} }}\)
sinϕ= \(\displaystyle{ \frac{4}{ \sqrt{17} }}\)

i z tego nie wiem co dalej

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 21 sty 2013, o 01:14

W tym przykładzie jest raczej ciężko przedstawić tę liczbę w postaci trygonometrycznej, bo właśnie nie znamy takich kątów odpowiadających tym wartościom funkcji trygonometrycznych. Co sądzisz np o liczbie \(\displaystyle{ \sqrt[3]{161+240i}}\) Myślisz, że jest rozwiązaniem równania?

don_keywon · Post autor: **don_keywon** » 21 sty 2013, o 01:17

Przy użycie WolframAlpha tak mi wyszło, ale nie wiem dokładnie skąd to się wzięło. Mógłbyś wyjaśnić?

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 21 sty 2013, o 01:20

\(\displaystyle{ \left( i+4\right)^4=\left( i^2+8i+16\right)^2=\left( 8i+15\right)^2=64i^2+240i+225=161+240i}\)
\(\displaystyle{ z^3=161+240i}\)

don_keywon · Post autor: **don_keywon** » 21 sty 2013, o 01:22

Niech Ci Bóg w dzieciach wynagrodzi.