Narysować zbiór liczb zespolonych na płaszczyźnie zespolonej

[Aegon]

Witam,

Mam mały (a właściwie to duży) problem z zadaniem z serii rysowania liczb zespolonych na płaszczyźnie zespolonej. Z łatwiejszymi radzę sobie bez problemu, lecz to jest z gwiazdką i nieco mnie przerasta:

\(\displaystyle{ \left\{ z \in Z: Re(iz ^{2} ) > 0, |1+zi|>|z-1|\right\}}\)

Czy mógłby ktoś dać jakąś wskazówkę od czego zacząć? Szczególnie chodzi o trzy rzeczy:

1. Jak radzić sobie z częścią rzeczywistą liczby \(\displaystyle{ Re(iz^{2})}\)?

2. Jak powinienem czytać przecinek między tymi równaniami?

3. Kwestia \(\displaystyle{ |1+zi|}\), podobnie jak w pkt. 1.

Pozdrawiam i z góry dziękuję za pomoc!

[chris_f]

W tego typu zadaniach najczęściej oznacza się \(\displaystyle{ z=x+iy,\ x,y\in\mathbb{R}}\). To tak na początek. Ten przecinek oznacza, że ma być spełniona i pierwsza i druga nierówność.
Dla pierwszej nierówności mamy:
\(\displaystyle{ Re(iz^2)=Re(i(x+iy)^2)=Re(i(x^2+2xyi-y^2))=Re(-2xy+(x^2-y^2)i)=-2xy}\)
a zatem mamy, że
\(\displaystyle{ -2xy>0}\)
\(\displaystyle{ xy<0}\)
\(\displaystyle{ x<0\wedge y>0\vee x>0\wedge y<0}\)
czyli chodzi o drugą i czwartą ćwiartkę układu współrzędnych.
Drugą nierówność rozwiązujemy podobnie (tu będzie troszkę więcej rachunków)
\(\displaystyle{ |1+zi|>|z-1|}\)
\(\displaystyle{ |1+(x+iy)i|>|x+iy-1|}\)
\(\displaystyle{ |1-y+ix|>|(x-1)+iy|}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(1-y)^2+x^2}>\sqrt{(x-1)^2+y^2}}\)
\(\displaystyle{ 1-2y+y^2+x^2>x^2-2x+1+y^2}\)
\(\displaystyle{ -2y>-2x}\)
\(\displaystyle{ y<x}\)
czyli to będzie półpłaszczyzna leżąca pod prostą \(\displaystyle{ y=x}\).
Na rysunku będzie to wyglądać tak:

AU

42161315448856143773_thumb.jpg (5.52 KiB) Przejrzano 82 razy

[/url]
Widać zatem, że odpowiedzią będzie czwarta ćwiartka układu współrzędnych.

PS. Trzeba sprawdzić rachunki bo liczyłem w pamięci.

[Aegon]

Cześć,

Bardzo Ci dziękuję za odpowiedź. Myślę, że jedną z podstaw jakich mi brakowało jest fakt iż igreki można utożsamiać z osią zespoloną Oi.

Rachunki przeprowadziłem jeszcze raz i wszystko się zgadza. Jeszcze raz wielkie dzięki!

Pozdrawiam.