Witam,
Po paru godzinach udało mi się wykombinować rozwiązani tego zadania, lecz nie jestem pewien czy zrobiłem wszystko dobrz. Tak więc rozpiszę mój tok rozumowania i prosiłbym kogoś o sprawdzenie.
Oto równanie:
\(\displaystyle{ \frac{z}{8\left(i+1\right) \left|z\right|} + \frac{\sqrt{2}}{z^4}=0}\)
A tutaj moje rozwiązanie:
Na początek oznaczmy liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z}\) jako:
\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
1. Po przeniesieniu na strony i pomnożeniu na krzyż:
\(\displaystyle{ z^{5}=-8 \sqrt{2} \left( i+1\right) \left| z\right|}\)
2. Lewa strona na postać trygonometryczną:
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{5} \left( \cos 5\alpha + i\sin 5\alpha \right) = \left| z\right|\left( 8\sqrt{2} +i8\sqrt{2}\right)}\)
3. Skracam moduł:
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{4} \left( \cos 5\alpha + i\sin 5\alpha \right) = 8\sqrt{2} +i8\sqrt{2}}\)
4. Zamieniam prawą stronę na postać trygonometryczną:
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{4} \cos 5\alpha + \left| z\right| ^{4}i\sin 5\alpha = 16\left( \cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)}\)
5. Porównuję części rzeczywiste oraz urojone obydwu stron:
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{4} \cos 5\alpha = 16 \cos \frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{4} = 16}\)
\(\displaystyle{ \left( \sqrt{x^{2}+y ^{2}} \right) ^{4} = 16}\) // Korzystam ze wzoru na moduł
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y ^{2}}=2 \vee \sqrt{x^{2}+y ^{2}}=-2}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+y ^{2}=4}\)
Z tego otrzymuję cztery rozwiązania:
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} +i\sqrt{2}
\vee
z= \sqrt{2} -i\sqrt{2}
\vee
z= -\sqrt{2} +i\sqrt{2}
\vee
z= -\sqrt{2} -i\sqrt{2}}\)
Pozdrawiam serdecznie i z góry dziękuję za pomoc.