logarytm zespolony

[Problemowa]

Mam problem z takim zadaniem:

Czy gałąź logarytmu dla \(\displaystyle{ arg(z) \in (-\pi,\pi)}\) jest funkcja holomorficzną?

Nie wiem już jak na to patrzeć i chyba nie rozumiem polecenia, co to znaczy z tą gałęzią?

[Adifek]

Tak, jest holomorficzna. Logarytm jest holomorficzny, gdy wywalimy z dziedziny jakąkolwiek półprostą wychodzącą z początku układu. Obrazowo wykres logarytmu to jakby taka spirala, która się nawija w nieskończoność - jeśli wzięlibyśmy wszystkie argumenty, to gdzieś dostaniemy skok.

[Problemowa]

Jak to jest z tymi gałęziami, bo tego chyba nie rozumiem? Co to jest ta gałąź, szukałam w różnych książkach, ale nadal tego nie rozumiem.

[Adifek]

Gałęzią główną nazywamy właśnie logarytm dla argumentów \(\displaystyle{ arg(z) \in (-\pi,\pi)}\). Robimy tak, bo jeśli weźmiemy cały okrąg, to logarytm nie będzie funkcją tylko funkcją wielowartościową. Jest tak ponieważ zespolona eksponenta jest funkcją okresową.

[Problemowa]

czyli ta gałąź, to tak jakby kawałek tej funkcji wielowartościowej ?

Jak potem udowodnić holomorficzność bardziej technicznie?

[Adifek]

Tak, taki kawałek

Standardowo - np. równania C-R.

[Problemowa]

To aj to zaraz spróbuje równaniami i potem mi powiesz, czy dobrze policzyłam -- 22 sty 2013, o 01:40 --Jednak coś jest nie tak, bo mi nie wychodzą równości w CR. Wychodzą mi takie pochodne:

\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{ \partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{ \partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial v}{ \partial x} = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial v}{ \partial y} = 0}\)

Może źle liczę? Korzystałam, ze wzoru:
\(\displaystyle{ log(z)=ln|z| +iarg(z) + 2k\pi i}\)