Pierwiastki zespolone

[mati150_92]

Witam mam obliczyć i narysować na płaszczyźnie C wszystkie pierwiastki zespolone: \(\displaystyle{ \sqrt[4]{-8+8 \sqrt{3}i }}\) i nie wiem jak się za to zabrać ? Ktoś by mi mógł to wytłumaczyć ?

[lukasz1804]

Zapisz liczbę podpierwiastkową w postaci trygonometrycznej i skorzystaj z odpowiedniej wersji wzoru de Moivre'a (dla pierwiastków).

[mati150_92]

a mógłbyś bardziej to rozwinąć bo ja wgl zespolonych nie rozumiem

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ w=-8+8\sqrt{3}i}\). Mamy kolejno: \(\displaystyle{ |w|=\sqrt{(-8)^2+(8\sqrt{3})^2}=16}\) oraz \(\displaystyle{ \cos\varphi=-\frac{1}{2}, \sin\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}}\), więc \(\displaystyle{ \varphi=\frac{2}{3}\pi}\). Wobec tego liczba \(\displaystyle{ w}\) ma następującą postać trygonometryczną:

\(\displaystyle{ w=16\left(\cos\frac{2}{3}\pi+i\sin\frac{2}{3}\pi\right)}\).

Korzystając ze wzoru de Moivre'a otrzymamy teraz cztery różne pierwiastki z liczby \(\displaystyle{ w}\).
Dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,3}\) mamy

\(\displaystyle{ z_k=\sqrt[4]{|w|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{4}\right)}\),

tj.

\(\displaystyle{ z_k=2\left(\cos\frac{\frac{2}{3}\pi+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\frac{2}{3}\pi+2k\pi}{4}\right)}\).

Podstaw kolejne wartości \(\displaystyle{ k}\) i wyznacz wartość powyższych pierwiastków, korzystając z wartości odpowiednich funkcji trygonometrycznych.

[mati150_92]

w \(\displaystyle{ k=0}\) wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{3} }{2}i}\)
a w \(\displaystyle{ k=1}\) mi nie wychodzi ;/ stanąłem na \(\displaystyle{ \cos \frac{5}{6} \pi + i \cdot \sin \frac{5}{6} \pi}\) i nie wiem co dalej

w \(\displaystyle{ k=1}\) wyszło \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{3}i}\)


w \(\displaystyle{ k=2}\) mi wyszło \(\displaystyle{ - \sqrt{3}+i}\)


a w \(\displaystyle{ k=3}\) wyszło mi \(\displaystyle{ 1- \sqrt{3}i}\) czy ktoś mógłby sprawdzić czy to są dobre wyniki ?