Równanie na płaszczyźnie zespolonej.

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
doncaliforniano
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 9 lis 2012, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 7 razy

Równanie na płaszczyźnie zespolonej.

Post autor: doncaliforniano »

Siema, proszę o pomoc w zadaniu.
Rozwiącać w płaszczyźnie zespolonej równanie.
\(\displaystyle{ z ^{3}-2i=0}\)
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Równanie na płaszczyźnie zespolonej.

Post autor: lukasz1804 »

Wystarczy wyznaczyć pierwiastki drugiego stopnia z liczby \(\displaystyle{ 2i}\). Zastosuj odpowiednią wersję wzoru de Moivre'a.
doncaliforniano
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 9 lis 2012, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 7 razy

Równanie na płaszczyźnie zespolonej.

Post autor: doncaliforniano »

da się bez tego wzoru?
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Równanie na płaszczyźnie zespolonej.

Post autor: lukasz1804 »

Można też "na piechotę": niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x,y\in\RR}\).

Wtedy mamy \(\displaystyle{ 0=z^2-2i=(x+iy)^2-2i=(x^2-y^2)+(2xy-2)i}\). Stąd otrzymujemy układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-y^2=0 \\ 2xy-2=0\end{cases}}\).
doncaliforniano
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 9 lis 2012, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 7 razy

Równanie na płaszczyźnie zespolonej.

Post autor: doncaliforniano »

czy potęgę przy z trzeba zmniejszyć czy po prostu się pomyliłeś?-- 18 sty 2013, o 21:11 --bo jeżeli nie, to wychodzi mi taki układ i nie wiem co zrobic z nim
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3-3xy^2=0 \\ 3x^2y-y^3-2=0\end{cases}}\)
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Równanie na płaszczyźnie zespolonej.

Post autor: lukasz1804 »

Pomyliłem się co do wykładnika.

Rozważ przypadki: \(\displaystyle{ x=0, x\ne 0}\).
doncaliforniano
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 9 lis 2012, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 7 razy

Równanie na płaszczyźnie zespolonej.

Post autor: doncaliforniano »

Wychodzi mi coś takiego:
dla \(\displaystyle{ x=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=0 \\-y ^{3}=2\end{cases}}\)

nie wiem jak będzie dla \(\displaystyle{ x\ne 0}\)
Ostatnio zmieniony 19 sty 2013, o 12:06 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Równanie na płaszczyźnie zespolonej.

Post autor: lukasz1804 »

Dla \(\displaystyle{ x=0}\) mamy \(\displaystyle{ y=-\sqrt[3]{2}}\).

Dla \(\displaystyle{ x\ne 0}\) mamy \(\displaystyle{ x^2=3y^2}\). Stąd \(\displaystyle{ 3\cdot 3y^2\cdot y-y^3-2=0}\), tj. \(\displaystyle{ 8y^3=2}\), więc \(\displaystyle{ y=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x=-y\sqrt{3}}\) lub \(\displaystyle{ x=y\sqrt{3}}\).

Otrzymaliśmy zatem trzy różne pary \(\displaystyle{ (x,y)}\), czyli trzy różne rozwiązania równania.
ODPOWIEDZ