Rozwiąż równanie wyznaczając niewiadomą z

[dawid91]

Witam, jak to rozwiązać?

\(\displaystyle{ \left| z\right|+ \bar{z}=8+4i\\
\sqrt{x ^{2}+y ^{2} }+\left( x-iy\right)=8+4i\\
\\

\begin{cases} \sqrt{x ^{2}+y ^{2} }+x=8\\
-y=4\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ y=-4}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+16 }+x=8 \ | ^{2}\\
\left( \sqrt{x ^{2}+16 }+x \right) ^{2}=64\\
x ^{2}+16+2x \sqrt{x ^{2}+16 }+x ^{2}=64 \\
2x ^{2}+2x \sqrt{x ^{2}+16 }=48}\)

Coś takiego?

[yorgin]

Da się prościej:

\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+16 }+x=8 \\
\sqrt{x^2+16}=8-x|^2\\
x^2+16=64-16x+x^2\\
\vdots}\)

[dawid91]

A jeszcze taki przykład, tu mam obliczyć pierwiastki.

\(\displaystyle{ x+iy=\sqrt{-3-4i} \ | ^{2} \\
\\
\begin{cases}x ^{2} -y ^{2}=-3\\
2xy=-4\\
x ^{2}+y ^{2}= \sqrt{\left( -3\right) ^{2}+4 ^{2} }\end{cases}}\)

No i z tego sobie wyliczam, że:
\(\displaystyle{ x=-2 \ \vee \ x=2}\)

Podstawiając do pierwszego równania najpierw -2 później 2 wychodzi mi, aż 4 igreki.

\(\displaystyle{ y=-1 \ \vee \ y=1\\
y=-5 \ \vee \ y=5}\)

I jaka teraz będzie odpowiedź?
Taka?
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=2\\
y=-5 \ \vee \ y=5 \end{cases}

\begin{cases}x=-2\\
y=1 \ \vee \ y=-1\end{cases}}\)

[yorgin]

Sądząc po postaci rozwiązania nawet nie sprawdziłeś, czy wyznaczone liczby spełniają układ równań.

Trzecie równanie nie jest prawdziwe, więc je należy wyrzucić z układu.

A całość rozwiązać od nowa. Począwszy od wyznaczenia \(\displaystyle{ x}\). W ogóle nie rozumiem, skąd takie wyniki wyszły...

[dawid91]

A jak to sprawdzić? Policzyć dziedzinę?

\(\displaystyle{ \begin{cases}x ^{2} -y ^{2}=-3\\
2xy=-4\\\end{cases}}\)
Nie wiem kompletnie jak to ruszyć

[yorgin]

\(\displaystyle{ x,y\neq0}\)

Z drugiego równania

\(\displaystyle{ x=-\frac{2}{y}}\)

podstawiasz do pierwszego, liczysz i wychodzi.

[dawid91]

A dlaczego wziąłeś sobie takie założenie, że \(\displaystyle{ x,y\neq0}\) ?

[yorgin]

Podstaw \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ y=0}\) i przyjrzyj się drugiemu równaniu. Wnioski są oczywiste.

[dawid91]

Faktycznie.

Ale z tym podstawieniem i liczeniem też mam problemy
\(\displaystyle{ \left( -\frac{2}{y} \right) ^{2}-y ^{2}=-3\\
\frac{4}{y ^{2} }-y ^{2}=-3\\
\frac{4}{y ^{2} }=-3+y ^{2}\\
4=-3y ^{2}+y ^{4}}\)

[yorgin]

Podstaw \(\displaystyle{ y^2=t}\)

[dawid91]

Czyli
\(\displaystyle{ 4=-3t+t^{2}}\)
Mogę to obliczyć deltą?

[yorgin]

Możesz. Dostaniesz dwa pierwiastki. Pamiętaj tylko, że nie możesz brać ujemnej wartości \(\displaystyle{ t}\), gdyż ma być ona kwadratem liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x^2=t}\).

[dawid91]

\(\displaystyle{ t _{1}=-1\\
t _{2}=4\\
\\
y ^{2}=t\\
y ^{2}=4\\
y=2 \ \vee \ y=-2}\)

\(\displaystyle{ x ^{2}-2 ^{2}=-3\\
x ^{2}=1\\
x=1 \ \vee \ x=-1}\)

[yorgin]

Dobrze. Teraz musisz pozbierać to wszystko. Masz cztery możliwe pary, ale tylko dwie będą dobre. Wynika to z drugiego równania.

[dawid91]

Aha, czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=-1\\
y=2\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=1\\
y=-2\end{cases}}\)