Dzielenie liczb zespolonych

[andsze1]

Jeśli mam takie dzielenie \(\displaystyle{ \frac{1-i}{ \sqrt{3}+i }}\) to wystarczy, że pomnożę przez mianownik ze zmienionym znakiem i z tego co mi wyjdzie np. z= a+bi policzyć moduł czyli podnieść do kwadratu obie liczby pod pierwiastkiem ?

[yorgin]

Zależy, co chcesz z tym dalej robić. Bo z Twojej wiadomości nie jestem w stanie zrozumieć.

[andsze1]

temat zadania mam "oblicz moduł" \(\displaystyle{ \frac{1-i}{ \sqrt{3}+i }}\)
Żeby obliczyć z tego moduł to muszę na początku pomnożyć przez :

\(\displaystyle{ \frac{1-i}{ \sqrt{3}+i } \cdot \frac{\sqrt{3}-i }{\sqrt{3}-i }}\)

I z tego co mi wyjdzie czyli:

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3}-i - \sqrt{3}i -1 }{4}= \frac{ \sqrt{3}-1}{4} -\frac{ (\sqrt{3}+1)}{4} \cdot i}\)

obliczyć dopiero moduł: \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{x ^{2}+y ^{2} }}\)

[yorgin]

Wszystko jasne, a metoda jak najbardziej poprawna.

[Qń]

O wiele prościej skorzystać z faktu, że \(\displaystyle{ \left| \frac{z_1}{z_2} \right| =\frac{|z_1|}{|z_2|}}\).

Q.

[andsze1]

mam jeszcze taki przykład z książki, ale nie rozumiem jednej rzeczy.

Wyznacz moduł i argument główny liczby \(\displaystyle{ z=-1- \sqrt{3}i}\)

Wyznaczenie modułu to nie problem, w tym przypadku równa się 2.

Argument można wyznaczyć z tego:

\(\displaystyle{ cosφ= \frac{x}{|z|}= \frac{-1}{2}}\) i właśnie czy tutaj mam wziąć ( 1 czy -1) ?

\(\displaystyle{ isinφ= \frac{y}{|z|}= \frac{ \sqrt{-3} }{2}}\) tak samo tutaj ?

Czyli po obliczeniu kąt φ= \(\displaystyle{ \frac{4 \pi }{3} +2k \pi}\)

i tu mam drugi problem, bo w zadaniu napisane jest, że jedynie φ= \(\displaystyle{ -\frac{2 \pi }{3}}\) należy do przedziału \(\displaystyle{ ( - \pi , \pi )}\) tylko nie wiem jak oni to wyznaczyli. Jak ktoś może mi to wytłumaczyć to będę wdzięczny.

[yorgin]

U Ciebie \(\displaystyle{ x=-1}\) więc musi być \(\displaystyle{ \cos\phi=-\frac{1}{2}}\). Ale też trzeba mieć sinusa, a więc \(\displaystyle{ \sin \phi=\frac{-\sqrt{3}}{2}}\)

Z prostych rachunków wychodzi rzeczywiście \(\displaystyle{ \phi=\frac{4\pi}{3}+2k\pi}\).

A jak wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ \phi=-\frac{2\pi}{3}}\)? To jest przecież równe \(\displaystyle{ -2\pi+\frac{4\pi}{3}}\) i podchodzi pod wyznaczone przez Ciebie możliwe wartości kątów.