Mam takie zadanie i nie bardzo wiem jak je zrobić, żeby nie było na piechotę....
Korzystając z liczb zespolonych, znajdź resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x^{2000} + x^{1999} + 2001}\) przez wielomian \(\displaystyle{ ( x^{2}+1)^{2}}\)
Reszta z dzielenia
Reszta z dzielenia
Ostatnio zmieniony 15 sty 2013, o 20:27 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Między tagami[latex], [/latex]
Powód: Między tagami
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Reszta z dzielenia
\(\displaystyle{ W(x)=x^{2000}+x^{1999}+2001=Q(x)\cdot (x^2+1)^2+ax^3+bx^2+cx+d\\\\
W(i)=i^{2000}+i^{1999}+2001=2002-i=(c-a)i+d-b\\\\
W(-i)=(-i)^{2000}+(-i)^{1999}+2001=2002+i=(a-c)i+d-b\\\\
W'(x)=2000x^{1999}+1999x^{1998}=Q'(x)\cdot (x^2+1)^2+4x Q(x)\cdot (x^2+1)+3ax^2+2bx+c\\\\
W'(i)=-2000i-1999=c-3a+2ib\\\\
W'(-i)=2000i-1999=c-3a-2ib\\\\
\begin{cases}a-c=1\\d-b=2002\\2b=-2000\\c-3a=-1999\end{cases}\,\Rightarrow \begin{cases}a=999\\b=-1000\\c=998\\d=1002\end{cases}}\)
W(i)=i^{2000}+i^{1999}+2001=2002-i=(c-a)i+d-b\\\\
W(-i)=(-i)^{2000}+(-i)^{1999}+2001=2002+i=(a-c)i+d-b\\\\
W'(x)=2000x^{1999}+1999x^{1998}=Q'(x)\cdot (x^2+1)^2+4x Q(x)\cdot (x^2+1)+3ax^2+2bx+c\\\\
W'(i)=-2000i-1999=c-3a+2ib\\\\
W'(-i)=2000i-1999=c-3a-2ib\\\\
\begin{cases}a-c=1\\d-b=2002\\2b=-2000\\c-3a=-1999\end{cases}\,\Rightarrow \begin{cases}a=999\\b=-1000\\c=998\\d=1002\end{cases}}\)