Udowodnić, że liczby zespolone \(\displaystyle{ z,w \in \mathbb{C}}\). są równe wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi następujący warunek: \(\displaystyle{ exp(z) = exp(w)}\) i dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}}\)spełniona jest równość \(\displaystyle{ exp(\alpha*z) = exp(\alpha*w)}\).
Równość w prawą stronę udowodniłam korzystając z faktu, że część urojona i rzeczywista są sobie równe oraz własności funkcji wykładniczej. Z czego skorzystać, żeby udowodnić równość w lewą stronę? Będę bardzo wdzięczna za pomoc.
Czy można tak?
\(\displaystyle{ \Leftarrow}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ exp(z) = exp(w)}\). Niech \(\displaystyle{ f(z) = exp(z)}\) \(\displaystyle{ f(w) = exp(w)}\). Musimy pokazać, że wartości tych funkcji są równe, czyli \(\displaystyle{ f(z) = f(w) = a}\).
Stąd:
\(\displaystyle{ exp(z) = a}\)
\(\displaystyle{ exp(w) = a}\)
\(\displaystyle{ z = ln(a)}\)
\(\displaystyle{ w = ln(a)}\), czyli \(\displaystyle{ z = w}\).