Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego przykładu, który najprawdopodobniej będzie na kolokwium
Pokazać, że jeżeli liczba zespolona \(\displaystyle{ Z_{1}}\) jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego \(\displaystyle{ P}\), to liczba sprzężona do \(\displaystyle{ Z_{1}}\) także jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ P}\). Korzystając z tego faktu znaleźć pozostałe pierwiastki zespolone wielomianu \(\displaystyle{ P(x)= x^{4} - 4 x^{3} +12 x^{2} -16x + 15}\) wiedząc, że jednym z nich jest \(\displaystyle{ x_{1} =1+2i}\):
Pierwiastki zespolone
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Pierwiastki zespolone
\(\displaystyle{ W(z)=W(r[\cos\varphi+i\sin\varphi])=\sum_{k=0}^na_kr^k[\cos k\varphi+i\sin k\varphi]=\\\\=\sum_{k=0}^na_kr^k\cos k\varphi+i\sum_{k=0}^na_kr^k\sin k\varphi\\\\
W(\overline{z})=W(r[\cos\varphi-i\sin\varphi])=\sum_{k=0}^na_kr^k[\cos k\varphi-i\sin k\varphi]=\\\\=\sum_{k=0}^na_kr^k\cos k\varphi-i\sum_{k=0}^na_kr^k\sin k\varphi\\\\
W(\overline{z})=\overline{W(z)}\\\\
W(z)=0 \Leftrightarrow W(\overline{z})=0}\)
W(\overline{z})=W(r[\cos\varphi-i\sin\varphi])=\sum_{k=0}^na_kr^k[\cos k\varphi-i\sin k\varphi]=\\\\=\sum_{k=0}^na_kr^k\cos k\varphi-i\sum_{k=0}^na_kr^k\sin k\varphi\\\\
W(\overline{z})=\overline{W(z)}\\\\
W(z)=0 \Leftrightarrow W(\overline{z})=0}\)