Przedstawić w postaci trygonometrycznej:

[tfukowsky]

1) \(\displaystyle{ z = 1 + i\tg \alpha \left( 0 \le \alpha \le \frac{ \pi }{2}\right)}\)

2) \(\displaystyle{ z = 1 + \cos \alpha + i\sin \alpha \left( 0 \le \alpha \le \frac{ \pi }{2} \right)}\)

Zrobiłem sporo "prostszych" przykładów i zaciąłem na dwóch ostatnich. Jak się za nie zabrać krok po kroku? (pewnie trudne to nie jest ale potrzebuje krótkiego objaśnienia).

[rafalpw]

Musisz jedynie wyznaczyć odpowiedni kąt \(\displaystyle{ \beta}\) wiedząc, że (w 1. przykładzie) \(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{1+\tg^{2} \alpha } = \sqrt{1+ \frac{\sin^{2} \alpha }{\cos^{2} \alpha } } = \sqrt{ \frac{\cos^{2} \alpha +\sin^{2} \alpha }{\cos^{2} \alpha } }= \frac{1}{\cos \alpha }}\)
\(\displaystyle{ \cos \beta = \frac{1}{ \frac{1}{\cos \alpha } }=\cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ \sin \beta = \frac{\tg \alpha }{ \frac{1}{\cos \alpha } }= \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\cos \alpha =\sin \alpha}\)
Zatem \(\displaystyle{ z= \frac{1}{\cos \alpha }\left( \cos \alpha +i\sin \alpha \right)}\)

[tfukowsky]

Czyli przykład 2gi:

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{\left( 1+\cos \alpha \right) ^{2} + \sin ^{2} \alpha } = ... = \sqrt{2\left( 1 + \cos \alpha \right) }}\)

z tego wynika że \(\displaystyle{ \cos \beta = \frac{1}{ \sqrt{2\left( \cos \alpha \right) } }}\)

Czy dobrze myślę?
Co teraz bo trochę się pogubiłem , dlaczego obliczajac następnie sinus w liczniku masz tangensa?

[rafalpw]

Jak zapisujemy liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej?
\(\displaystyle{ z=a+bi \Leftrightarrow z=\left| z\right|\left( \cos \beta +i\sin \beta \right)}\) , gdzie
\(\displaystyle{ z= \sqrt{a^2+b^2}}\)
a \(\displaystyle{ \beta}\) wyliczamy z następującego układu równań:
\(\displaystyle{ \cos \beta = \frac{a}{\left| z\right| }}\)
\(\displaystyle{ \sin \beta = \frac{b}{\left| z\right| }}\)

Jeżeli chodzi o drugi przykład to \(\displaystyle{ a=1+\cos \alpha}\) \(\displaystyle{ b=\sin \alpha}\) Spróbuj jeszcze raz policzyć ten kąt.

[tfukowsky]

Nie zaznaczyłeś w którym momencie zrobiłem błąd. \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) jest dobrze policzony? jeśli tak to w takim razie faktycznie \(\displaystyle{ cos \beta = \frac{1 + cos \alpha }{ \sqrt{2\left( 1 + cos \alpha \right) } } = ... = \frac{ \sqrt{2\left( 1 + cos \alpha \right) } }{2}}\)?

[rafalpw]

\(\displaystyle{ \left| z\right|}\) było dobrze policzone, teraz jeszcze masz mały błąd w cosinusie. 2 pod pierwiastkiem nie powinno być.

[tfukowsky]

Nie bardzo widzę gdzie można się jej pozbyć, na pewno ma jej nie być?

[rafalpw]

Jednak jest dobrze.

[tfukowsky]

Dobrze, myślę że teraz już wszystko jasne, dzięki za pomoc:)