Oblicz liczbę z

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Dario1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1371
Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 14 razy

Oblicz liczbę z

Post autor: Dario1 »

Oblicz:

\(\displaystyle{ z=\left(1+i \right) ^{i}}\)

Podaj modul i argument z.
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Oblicz liczbę z

Post autor: octahedron »

\(\displaystyle{ z=(1+i)^i=e^{i\ln(1+i)}=e^{i\ln\left(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\right)}=e^{i\left(\ln\sqrt{2}+i\frac{\pi}{4}\right)}=e^{-\frac{\pi}{4}}e^{i\ln\sqrt{2}}\\\\
|z|=e^{-\frac{\pi}{4}}\\\\
\arg z=\ln\sqrt{2}}\)
Kmitah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 179
Rejestracja: 16 lut 2012, o 16:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suwałki / Białystok
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 28 razy

Oblicz liczbę z

Post autor: Kmitah »

Trzeba tu jednak być ostrożnym, by nie wyjść z zakresu, przewidzianego dla argumentu (od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2\pi}\) lub od \(\displaystyle{ -\pi}\) do \(\displaystyle{ \pi}\)), ponieważ funkcja potęgowa na liczbach zespolonych nie jest wyznaczona jednoznacznie.
ODPOWIEDZ