Znajdź pierwiastki zespolone

[l9indy]

Mam znaleźć wszystkie zespolone pierwiastki równań:
\(\displaystyle{ z^{8}+ z^{4} + 1 = 0}\)

Jakim sposobem mam to zrobić?
Podstawiając pod

\(\displaystyle{ t = x^{4}}\)

dostaje deltę ujemną i \(\displaystyle{ t_{1} = \frac{-1- \sqrt{3}i }{2}}\) oraz \(\displaystyle{ t_{2} = \frac{-1+ \sqrt{3}i }{2}}\)

Czy jest jakiś łatwiejszy sposób aby zrobić to zadanie, gdyż liczenie pierwiastków czwartego stopnia z \(\displaystyle{ t_{1}}\) i \(\displaystyle{ t_{2}}\) to strasznie żmudna praca?

[Kmitah]

\(\displaystyle{ t_1}\) i \(\displaystyle{ t_2}\), na pierwszy rzut oka, bardzo ładnie dają się zapisać w postaci trygonometrycznej, a pierwiastkowanie liczb zespolonych w takiej postaci nie nastręcza problemów:

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{|z|(\cos \varphi + i \sin \varphi)} = \{\sqrt[4]{|z|}\left(\cos \frac{\varphi + 2k\pi}{4}+ i \sin \frac{\varphi+2k\pi}{4}\right): k\in\{0,1,2,3\}\}}\)

[bb314]

\(\displaystyle{ \blue t_{1} = \frac{-1- \sqrt{3}i }{2}}\)

\(\displaystyle{ t_1=-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}=\cos\varphi+i\,\sin\varphi}\)

\(\displaystyle{ \cos\alpha=-\frac12\ \ \ \to\ \ \ \alpha=\pi-\frac{\pi}{3}\ \ \vee\ \ \alpha=\pi+\frac{\pi}{3}}\)

\(\displaystyle{ \sin\alpha=-\frac{\sqrt3}{2}\ \ \ \to\ \ \ \alpha=-\frac{\pi}{3}\ \ \vee\ \ \alpha=\pi+\frac{\pi}{3}}\)

wspólna wartość \(\displaystyle{ \to\ \ \ \blue\varphi=\pi+\frac{\pi}{3}}\)

\(\displaystyle{ z=t_1^4\ \ \ \to\ \ \ \red z_k=\cos\left( \frac{\varphi+2k\pi}{4}\right)+i\,\sin \left(\frac{ \varphi+2k\pi}{4}\right)\ \ \ k=\{0,1,2,3\}}\)


podobnie cztery pierwiastki otrzymasz z \(\displaystyle{ z=t_2^4}\)