Mam znaleźć wszystkie zespolone pierwiastki równań:
\(\displaystyle{ z^{8}+ z^{4} + 1 = 0}\)
Jakim sposobem mam to zrobić?
Podstawiając pod
\(\displaystyle{ t = x^{4}}\)
dostaje deltę ujemną i \(\displaystyle{ t_{1} = \frac{-1- \sqrt{3}i }{2}}\) oraz \(\displaystyle{ t_{2} = \frac{-1+ \sqrt{3}i }{2}}\)
Czy jest jakiś łatwiejszy sposób aby zrobić to zadanie, gdyż liczenie pierwiastków czwartego stopnia z \(\displaystyle{ t_{1}}\) i \(\displaystyle{ t_{2}}\) to strasznie żmudna praca?
Znajdź pierwiastki zespolone
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 27 paź 2011, o 19:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: WWA
- Podziękował: 3 razy
Znajdź pierwiastki zespolone
Ostatnio zmieniony 11 sty 2013, o 13:42 przez Ponewor, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Indeksy to _{inkdeks}. Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Indeksy to _{inkdeks}. Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 179
- Rejestracja: 16 lut 2012, o 16:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suwałki / Białystok
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 28 razy
Znajdź pierwiastki zespolone
\(\displaystyle{ t_1}\) i \(\displaystyle{ t_2}\), na pierwszy rzut oka, bardzo ładnie dają się zapisać w postaci trygonometrycznej, a pierwiastkowanie liczb zespolonych w takiej postaci nie nastręcza problemów:
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{|z|(\cos \varphi + i \sin \varphi)} = \{\sqrt[4]{|z|}\left(\cos \frac{\varphi + 2k\pi}{4}+ i \sin \frac{\varphi+2k\pi}{4}\right): k\in\{0,1,2,3\}\}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{|z|(\cos \varphi + i \sin \varphi)} = \{\sqrt[4]{|z|}\left(\cos \frac{\varphi + 2k\pi}{4}+ i \sin \frac{\varphi+2k\pi}{4}\right): k\in\{0,1,2,3\}\}}\)
- bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Znajdź pierwiastki zespolone
\(\displaystyle{ \blue t_{1} = \frac{-1- \sqrt{3}i }{2}}\)
\(\displaystyle{ t_1=-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}=\cos\varphi+i\,\sin\varphi}\)
\(\displaystyle{ \cos\alpha=-\frac12\ \ \ \to\ \ \ \alpha=\pi-\frac{\pi}{3}\ \ \vee\ \ \alpha=\pi+\frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ \sin\alpha=-\frac{\sqrt3}{2}\ \ \ \to\ \ \ \alpha=-\frac{\pi}{3}\ \ \vee\ \ \alpha=\pi+\frac{\pi}{3}}\)
wspólna wartość \(\displaystyle{ \to\ \ \ \blue\varphi=\pi+\frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ z=t_1^4\ \ \ \to\ \ \ \red z_k=\cos\left( \frac{\varphi+2k\pi}{4}\right)+i\,\sin \left(\frac{ \varphi+2k\pi}{4}\right)\ \ \ k=\{0,1,2,3\}}\)
podobnie cztery pierwiastki otrzymasz z \(\displaystyle{ z=t_2^4}\)
\(\displaystyle{ t_1=-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}=\cos\varphi+i\,\sin\varphi}\)
\(\displaystyle{ \cos\alpha=-\frac12\ \ \ \to\ \ \ \alpha=\pi-\frac{\pi}{3}\ \ \vee\ \ \alpha=\pi+\frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ \sin\alpha=-\frac{\sqrt3}{2}\ \ \ \to\ \ \ \alpha=-\frac{\pi}{3}\ \ \vee\ \ \alpha=\pi+\frac{\pi}{3}}\)
wspólna wartość \(\displaystyle{ \to\ \ \ \blue\varphi=\pi+\frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ z=t_1^4\ \ \ \to\ \ \ \red z_k=\cos\left( \frac{\varphi+2k\pi}{4}\right)+i\,\sin \left(\frac{ \varphi+2k\pi}{4}\right)\ \ \ k=\{0,1,2,3\}}\)
podobnie cztery pierwiastki otrzymasz z \(\displaystyle{ z=t_2^4}\)
Ostatnio zmieniony 11 sty 2013, o 13:42 przez Ponewor, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.