Argument liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej

[Tybias]

Witam,

mam pytanie w zwiazku z wyprowadzaniem postaci trygonometrycznej liczby zespolonej.
Pytanie jest w zasadzie chyba bardziej z trygonometrii.

Otoz, szukajac argumentu liczby, szukamy wspolnego kata dla funkcji sinus i cosinus. I to przyswajam,
natomiast w skrypcie na jednej stronie jest takie oto sformulowanie:

Można zauważyć, że liczba leży w I ćwiartce układu, więc wystarczy znaleźć kąt ostry z tangensa

I moje pytanie jest, skad tutaj ten tangens?? Bede wdzieczny za "łopatologiczna" odpowiedz.

Pozdrawiam serdecznie!

[yorgin]

Trzeba spojrzeć na to obrazkowo.

Jesli masz podaną liczbę zespoloną w postaci \(\displaystyle{ x+iy}\), to zauważ, ze

\(\displaystyle{ \tan\alpha=\frac{y}{x}}\)

poza przypadkami, gdy \(\displaystyle{ x=0}\).

Polecam rysunek - bardzo pomoże.

[Tybias]

widze to, dzieki !

-- 9 sty 2013, o 18:56 --

od razu jak juz jestesmy, mam jeszcze jedno pytanie.



Na tym przykladzie, jaki jest najlepszy sposob na znajdywanie dowolnego kata funkcji??
w tym przykladzie dla -1/ sqrt{2} ??

Proboje poukladac sobie te funkcje trygonometryczne, ale troche mi to ciezko idzie.
Mysle, ze wystarcze mi takie ogolne opisanie problemu, wiem co to sa wzory redukcyjne np.

[yorgin]

Zakładając, że znasz wzory redukcyjne, napiszę Ci, jak ja sam pamiętam wartości podstawowe, przy czym nie znam ich tak dokładnie na pamięć.


Chcąc np wiedzieć, ile wynoszą sinusy, pamiętam tylko tyle, że \(\displaystyle{ \sin 0=0}\).

Teraz najczęściej liczymy sinusa dla kątów \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}}\). Zauważ, że te kąty są wypisane w porządku rosnącym.
Wypisuje wartości typu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
W tej właśnie kolejności. I to są wartości sinusa dla wypisanych wcześniej przeze mnie kątów.

Odwrotnie, jeśli mam liczbę, to postępuję tak samo.

A jeśli dostaję liczbę niepasującą mi do schematu, próbuję sztuczek z prostymi wzorami trygonometrycznymi, typu połówki kątów itp.

Jest jeszcze jedna alternatywa - czasem wystarczy rzucić okiem na rysunek.

I jeszcze inna - pamiętać wykres, z którego można sobie odtwarzać kluczowe wartości.

[Tybias]

z podstawowymi wartosciamy to nawet nie mam problemu, zapamietalem na pamiec.

Chodzi mi wlasnie o te niestandardowe wartosci. Moglbys rozpisac jedna taka "sztuczke" z wykorzystaniem jakiegos wzoru?? Moja wyobraznia mnie tu zawodzi kompletnie...

[yorgin]

Masz na przykład wartość \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}\)

Jeśli teraz przyjrzysz się wzorowi

\(\displaystyle{ \cos\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}}\)

dla argumentu z pierwszej ćwiartki, to znajdziesz mocne podobieństwo. Z reguły najczęściej używa się funkcji kąta połówkowego.

Chociaż ja osobiście nie używam takich wzorów do znajdowania kątów. Nie było takiej potrzeby, co nie oznacza, że ktoś inny ich nie potrzebuje.

[Tybias]

acha takie wzory, takich jeszcze nie znalem. Dzieki, cos pokombinuje!