Cześć, nie potrafię ugryźć zadania i będę bardzo wdzięczny za jakieś wskazówki:
Wiedząc, że \(\displaystyle{ \cos{x}+\cos{y}=2\cos{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}}\)
Przedstawić w postaci trygonometrycznej następujące liczby:
\(\displaystyle{ a)~~ (\sin^2{x}+\cos{x}(\cos{x}-1)-i\sin{x})^n
b)~~ \left(\frac{2-i\sqrt{6}}{1-i}\right )^n}\)
Przedstawić w postaci trygonometrycznej
-
bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Przedstawić w postaci trygonometrycznej
a)
\(\displaystyle{ \blue a=(\sin^2{x}+\cos{x}(\cos{x}-1)-i\sin{x})^n}\)
\(\displaystyle{ b=\sin^2{x}+\cos{x}(\cos{x}-1)-i\sin{x}=\sin^2{x}+\cos^2{x}-\cos{x}-i\sin{x}=}\)
\(\displaystyle{ =1-\cos x-i\,\sin x}\)
\(\displaystyle{ |b|=\sqrt{\left( 1-\cos x\right)^2+\left( \sin x\right)^2}=\sqrt{1-2\cos x+\cos^2x+\sin^2x}=\sqrt{2-2\cos x}=}\)
\(\displaystyle{ =\blue \sqrt{2(1-\cos x)}=\black\sqrt{\frac{4(1-\cos x)}{2}}=2\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}=\blue2\sin\frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ b=|b|\left( \frac{1-\cos x}{|b|}-i\cdot\frac{\sin x}{|b|}\right)=|b|\left( \frac{1-\cos x}{\sqrt{2(1-\cos x)}}-i\cdot\frac{\sin x}{2\sin\frac{x}{2}}\right)=}\)
\(\displaystyle{ =|b|\left( \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}-i\cdot\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}}\right)=|b|\left( \sin\frac{x}{2}-i\,\cos\frac{x}{2}\right)=}\)
\(\displaystyle{ =|b|\left[ \cos\left( \frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)-i\ \sin\left( \frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right) \right]=|b|\left[ \cos\left(\frac{x}{2}- \frac{\pi}{2}\right)+i\ \sin\left(\frac{x}{2}- \frac{\pi}{2}\right) \right]=}\)
\(\displaystyle{ a=b^n=|b|^n\left[ \cos n\cdot\left(\frac{x}{2}- \frac{\pi}{2}\right)+i\ \sin n\cdot\left(\frac{x}{2}- \frac{\pi}{2}\right) \right]}\)
\(\displaystyle{ \magenta a=2^n\sin^n\frac{x}{2}\left( \cos\frac{n(x-\pi)}{2}+i\,\sin\frac{n(x-\pi)}{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ \blue a=(\sin^2{x}+\cos{x}(\cos{x}-1)-i\sin{x})^n}\)
\(\displaystyle{ b=\sin^2{x}+\cos{x}(\cos{x}-1)-i\sin{x}=\sin^2{x}+\cos^2{x}-\cos{x}-i\sin{x}=}\)
\(\displaystyle{ =1-\cos x-i\,\sin x}\)
\(\displaystyle{ |b|=\sqrt{\left( 1-\cos x\right)^2+\left( \sin x\right)^2}=\sqrt{1-2\cos x+\cos^2x+\sin^2x}=\sqrt{2-2\cos x}=}\)
\(\displaystyle{ =\blue \sqrt{2(1-\cos x)}=\black\sqrt{\frac{4(1-\cos x)}{2}}=2\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}=\blue2\sin\frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ b=|b|\left( \frac{1-\cos x}{|b|}-i\cdot\frac{\sin x}{|b|}\right)=|b|\left( \frac{1-\cos x}{\sqrt{2(1-\cos x)}}-i\cdot\frac{\sin x}{2\sin\frac{x}{2}}\right)=}\)
\(\displaystyle{ =|b|\left( \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}-i\cdot\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}}\right)=|b|\left( \sin\frac{x}{2}-i\,\cos\frac{x}{2}\right)=}\)
\(\displaystyle{ =|b|\left[ \cos\left( \frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)-i\ \sin\left( \frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right) \right]=|b|\left[ \cos\left(\frac{x}{2}- \frac{\pi}{2}\right)+i\ \sin\left(\frac{x}{2}- \frac{\pi}{2}\right) \right]=}\)
\(\displaystyle{ a=b^n=|b|^n\left[ \cos n\cdot\left(\frac{x}{2}- \frac{\pi}{2}\right)+i\ \sin n\cdot\left(\frac{x}{2}- \frac{\pi}{2}\right) \right]}\)
\(\displaystyle{ \magenta a=2^n\sin^n\frac{x}{2}\left( \cos\frac{n(x-\pi)}{2}+i\,\sin\frac{n(x-\pi)}{2}\right)}\)