wyprowadzić tożsamość trygonometryczną:
a)\(\displaystyle{ \sin2 \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha}\)
b)\(\displaystyle{ \cos2 \alpha =\cos ^{2} \alpha -\sin ^{2} \alpha}\)
wyprowadzić tożsamość trygonometryczną
-
Dario1
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
wyprowadzić tożsamość trygonometryczną
Mylisz sie Aniu. To nie jest takie trywialne zadanie, zeby skorzystac z wzorow trygonometrycznych. Tu chodzi o wyprowadzenie tozsamosci trygonometrycznej. Na podstawie tego co napisal Ares w sasiednim temacie, doszedlem do rozwiazania tego i przedstawie je ponizej:
a) \(\displaystyle{ 2\sin \alpha \cos \alpha =2 \frac{e ^{i \alpha}-e ^{-i \alpha } }{2i} \frac{e ^{i \alpha } +e ^{-i \alpha } }{2}= \frac{e ^{i \alpha +i \alpha }-e ^{-i \alpha +i \alpha }+e ^{i \alpha -i \alpha }-e ^{-i \alpha -i \alpha } }{2i}= \frac{e ^{i2 \alpha }-1+1-e ^{-i2 \alpha } }{2i}= \frac{e ^{i2 \alpha }-e ^{-i2 \alpha } }{2i}=\sin2 \alpha}\)
b) \(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha = \left( \frac{e ^{i \alpha }+e ^{-i \alpha } }{2}\right) ^{2}-\left( \frac{e ^{i \alpha }-e ^{-i \alpha } }{2i} \right) ^{2}= \frac{e ^{i2 \alpha } +2e ^{i \alpha -i \alpha } +e ^{-i2 \alpha } }{4}+ \frac{e ^{i2 \alpha }-2e ^{i \alpha -i \alpha }+e ^{-i2 \alpha } }{4}= \frac{2e ^{i2 \alpha}+2-2+e ^{-i2 \alpha} }{4} = \frac{e ^{i2 \alpha }+e ^{-i2 \alpha} }{2}=\cos2 \alpha}\)
a) \(\displaystyle{ 2\sin \alpha \cos \alpha =2 \frac{e ^{i \alpha}-e ^{-i \alpha } }{2i} \frac{e ^{i \alpha } +e ^{-i \alpha } }{2}= \frac{e ^{i \alpha +i \alpha }-e ^{-i \alpha +i \alpha }+e ^{i \alpha -i \alpha }-e ^{-i \alpha -i \alpha } }{2i}= \frac{e ^{i2 \alpha }-1+1-e ^{-i2 \alpha } }{2i}= \frac{e ^{i2 \alpha }-e ^{-i2 \alpha } }{2i}=\sin2 \alpha}\)
b) \(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha = \left( \frac{e ^{i \alpha }+e ^{-i \alpha } }{2}\right) ^{2}-\left( \frac{e ^{i \alpha }-e ^{-i \alpha } }{2i} \right) ^{2}= \frac{e ^{i2 \alpha } +2e ^{i \alpha -i \alpha } +e ^{-i2 \alpha } }{4}+ \frac{e ^{i2 \alpha }-2e ^{i \alpha -i \alpha }+e ^{-i2 \alpha } }{4}= \frac{2e ^{i2 \alpha}+2-2+e ^{-i2 \alpha} }{4} = \frac{e ^{i2 \alpha }+e ^{-i2 \alpha} }{2}=\cos2 \alpha}\)